作者ERT312 (312)
看板Math
标题Re: [分析] 高微习题
时间Tue Mar 17 21:02:35 2020
※ 引述《decalcla (chih hsun)》之铭言：
: http://i.imgur.com/SfvGJ4I.jpg
: 请问第4题有没有问题呢
: 或是有更简洁的做法
: 源自:Rudin习题
: -----
: Sent from JPTT on my Sony H4493.
利用 "α是A的下界 iff -α是-A的上界" ------------(*)
可以马上得出 sup(-A)≦-inf A 跟 -sup(-A)≦inf A
从而得证 inf A = -sup(-A)
(因 inf A 是A的下界 → -inf A是-A的上界 → sup(-A)≦-inf A
sup(-A)是-A的上界 → -sup(-A)是A的下界 → -sup(-A)≦inf A )
现在回头证明(*)
=>
for all x (x∈-A→-x∈A→α≦-x→x≦-α)
<=
for all x (x∈A→-x∈-A→-x≦-α→α≦x)
Q.E.D.
或是我们用 下(A) 表示所有A的下界的集合
上(-A) 表示所有-A的上界之集合
(*) 可表示为
下(A)=-上(-A)
因此
max(下(A))=max(-上(-A))=-min(上(-A)) -----------(**)
从而 inf A = -sup(-A)
不过证明(**)的第二个等号又要两三行以上
不知道有没有其他更简洁的做法
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