作者yhliu (老怪物)
看板Math
标题Re: [机统] Bonferroni不等式 证明
时间Fri Mar 13 12:06:42 2020
※ 引述《chen11907 (红票)》之铭言：
: 想问这题的(a)小题该怎麽下手 谢谢大家
: https://i.imgur.com/EcQSIbA.jpg
: -----
: Sent from JPTT on my iPhone
连结里两个问题是 P{∪A_i} ≦ Σ P{A_i} 的推广.
(a) P{∪A_i} ≧ Σ P{A_i} - Σ P{A_i∩A_j}
(b) P{∪A_i} ≦ Σ P{A_i} - Σ P{A_i∩A_j} + Σ P{A_i∩A_j∩A_k}
它们和 "取舍原理" 有关. 取舍原理是:
P{∪A_i} = Σ P{A_i} - Σ P{A_i∩A_j} + Σ P{A_i∩A_j∩A_k}
-+.....+(-1)^{n-1} P{∩A_i}
以上等式不等式其中注标都是 1～n.
要证明上列各不等式, 数学归纳法最方便.
(a) 从 n=2 也就是两个事件开始.
(b) 涉及三事件交集, 所以要从3个事件开始.
n = 2 时, P{A_1∪A_2} = (P{A_1}+P{A_2}) - P{A_1∩A_2}
故 (a) 之不等式(因含等号)成立.
假设 n=k 时 (a) 成立. 则 n = k+1 时
P{∪A_i} = P{∪{i=1~k}A_i} + P{A_{k+1}}
- P{∪{i=1~k}(A_i∩A_{k+1})}
≧ (Σ{i=1~k} P{A_i} - Σ{i,j=1~k,i<j} P{A_i∩A_j})
+ P{A_{k+1}} - P{∪{i=1~k}(A_i∩A_{k+1})}
= ( Σ{i=1~k} P{A_i} + P{A_{k+1}} )
- ( Σ{i,j=1~k,i<j} P{A_i∩A_j}
+ P{∪{i=1~k}(A_i∩A_{k+1})} )
= Σ{i=1~n} P{A_i} - Σ{i,j=1~n,i<j} P{A_i∩A_j}
也就是 n = k+1 时, (a) 也成立.
所以, 依数学归纳法原理, 对任意大於 1 的正整数 n,
都成立: P{∪A_i} ≧ Σ P{A_i} - Σ P{A_i∩A_j}.
(b) 之证法类似, 但从 n=3 开始.
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 114.46.66.116 (台湾)
※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1584072406.A.6A9.html
※ 编辑: yhliu (114.46.66.116 台湾), 03/13/2020 15:06:26
1F：推 chemmachine : 推刘老师大神 03/13 19:57