※ 引述《HeterCompute (异质运算)》之铭言： : 1-100之中任选n数不重复，将其排序之後， : 由大到小依序取其差，请问差的平均为何？ : ex:取3数1 55 99，那其差为44 54，平均就是49 : → XII : (100-n)/(n-1) 03/06 09:58 : → XII : 上面笔误,应该是 (100-n)/(n+1)+1=101/(n+1) 03/06 10:00 : → HeterCompute: 可以说一下怎麽思考的吗，和我算的一样，但我是sigm 03/06 10:12 : → HeterCompute: a算很久求的 03/06 10:12 : 推 LPH66 : 考虑 n 红 100-n 白的排列, 红球即为所选 03/06 11:45 : → LPH66 : 所求为平均被红球切开的白球长度 +1 03/06 11:46 : → LPH66 : 一共 100-n 球被切成 n+1 段 03/06 11:46 : → LPH66 : 由此即得此算式 03/06 11:47 : → HeterCompute: 感谢 03/06 12:18 : 推 cutekid : 推 L 大解释。上面的例子，应该是 (44+44)/2=44 03/06 14:45 : → yyc2008 : 看不太懂,可以请L大再详述一下吗?我只知道最大数-最 03/06 16:09 : → yyc2008 : 小数的所有情况的平均,不懂为何可转换为红切白长度 03/06 16:10 : → yyc2008 : 两红球之间的白球数就是一种差 03/06 16:12 : 推 LPH66 : 连续所选两数差 = 对应红球位置差 = 其所夹白球数+1 03/06 17:51 : → LPH66 : 所以每个差就是一段连续白球, 所求是 n-1 段的平均 03/06 17:51 : → LPH66 : 那因为这 n+1 段白球每段都不比别段特别 03/06 17:53 : → LPH66 : 所以这平均就是连续白球长度平均 = (100-n)/(n+1) 03/06 17:53 : → LPH66 : (再 +1 补偿种树问题端点相减与间隔数的差) 03/06 17:54 : 推 yyc2008 : 谢谢LP大，很清楚，我了解了 03/09 01:17 : → ColacoToT : 为何结果会是只跟n有关啊？说来跟ex结果不同了吧？ 03/09 15:51 : → HeterCompute: 题目要的是平均，我只是随便举例，当然不同 03/09 19:20 : → ColacoToT : 题目与举例不是只有n未知已知的差别吗？ 03/09 21:06 : → HeterCompute: 应该说题目要的是平均的"期望值"，这样就没争议了 03/09 22:38 : → ColacoToT : 那还是有个问题，L大的叙述是得n+1段平均吗？ 03/10 14:54 : → ColacoToT : 请问为何不是n-1段？n个数的差应该只有n-1个吧？ 03/10 14:54 : → HeterCompute: 因为n-1段没办法直接求，但是除了考虑n-1段以外的头 03/10 16:53 : → HeterCompute: 和尾变成n+1段时不失一般性(可以想一下为什麽) 03/10 16:54 我用一点数学语言重述这个做法 令 n+1 个随机变数 X0, X1, ..., Xn 表示选出的 n 个数加上 0, 101 共 n+2 个数 照样排好再做相邻数差依序得到的 n+1 个差 容易知道 (1) X0 + X1 + ... + Xn = 101 这应该没什麽问题 一点题外话是这里直接考虑差就不会碰到用球考虑时的种树问题差 1 的问题了 也就是说, n+1 段白球其实是 X0 - 1, X1 - 1, ..., Xn - 1 个球 白球总数是 100-n 所以除完之後才要再加 1 (2) X0, X1, ..., Xn 这 n+1 个随机变数的分布相同 这即是「每一段都不比别段更特别」的意思 也是上面推文的「考虑 ... n+1 段时不失一般性」的意思 注意到这只是单个随机变数的分布相同而已, 它们之间并不是独立的 证明的提示: 可以尝试证明对固定的 k, 所有 Xi = k 的组合都能一一对应 这一点用球想会比较容易看得出来 从这里容易得到 E(X0) = E(X1) = ... = E(Xn) = 101/(n+1) 而原题要求的是 E(Y), 其中 Y = (X1+X2+...+X{n-1})/(n-1) 那由期望值的线性即知 E(Y) 也会等於 101/(n+1) 所以推文在问除以 n-1 去哪里了, 它在这里, 和 n-1 个相同的值抵消了 ==== 这个分布其实是可以写出来的: P(Xi = k) = C(100-k,n-1)/C(100,n) 直接从这里求期望值大概就是原 PO 一开始说的用一堆Σ去算的过程 这样因为要在一堆二项式系数里面算会比较吃力没错 ==== 至於後来延伸的 n-1 个差的中位数期望值和标准差期望值 这应该就要考虑到这 n+1 个随机变数的联合分布了 不过初看起来似乎并不好求的样子... -- Ace Snake Santa Clover Junpei June Seven Lotus 9th man cabin kitchen casino shower operating room laboratory Ｔ Ｈ Ｅ chart captain quarter confinement torture room steam engine room cargo chapel library study incinerator Gigantic Q director office security Ｎ Ｏ Ｎ Ａ Ｒ Ｙ archives control laboratory pec treatment garden pantry gaulem bay rec room crew quarters infirmary lounge elevator Tenmyouji Quark Dio Ｇ Ａ Ｍ Ｅ Ｓ Luna Phi Sigma Alice Clover K --

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