作者chemmachine (chemmachine)
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标题Re: [分析] 均匀收敛和有界之间的关系
时间Mon Mar 9 22:57:09 2020
※ 引述《sogood6108 (duck)》之铭言：
: 刚在做题遇到一些困难 有点混淆
: 已知Fn收敛到f Gn收敛到g 都是均匀收敛
: 1.g会有界吗?
let f_n(x)=1/n x属於(0，1) g_n(x)=1/x x属於(0，1)
f_n(x)均匀收敛至f(x)=0 x属於(0，1) g_n(x)=1/x x属於(0，1)
故f和g不一定有界
因为题目要我证明FnGn收敛到fg pointwise
因fn一致收敛到f gn一致收敛到g
故fn逐点收敛到f gn逐点收敛到g
因逐点收敛满足乘法律故 fn*gn逐点收敛到fg
证明仿照limf(x)->L limg(x)->M 则 limf(x)*g(x)->L*M(初微课本有)
一致收敛不满足乘法律，因由第一行之反例f_n(1/n)*g_n(1/n)=1/n*n=1不等於
f(x)*g(x)=0
另一则反例在apostol exercise 9.1 9.2 9.3 有，你可以上网找一下
: 但我卡在 不确定g会不会有界 如果有界 我就可以证出来
不一定有界
: 函数列我不太知道要怎麽判断 她不像一般的数列那麽简单
: 一般的数列收敛到一个数字 那个数字就是有界
: 但函数列收敛到一个函数 我就不敢直接说有界了..
函数数列逐点去看，是实数数列。比较难的是一致收敛
: 2.已知道Fn均匀收敛到F
: 那F有界 跟Fn有界 彼此会有关系吗?
fn一致收敛至f 则对任意epsilon>0 存在N>0 SUCH THAT|FN-F|<epsilon
: 假设只给Fn均匀收敛到F 我可以说Fn或是F有界吗?
fn和f有不有界会互相影响。因 |fn-f|<e 由三角不等式
知 |fn|<|f|+e 及|f|<|fn|+e 故若f有界 则对足够大之n则 fn有界
fn有界对足够大之n则 f有界
: 3.在pointwise收敛 跟uniformly收敛两种情况下
: Fn 跟 f 有没有界会因此影响吗?
: 函数列的章节比较抽象 问题有点多 QQ 谢谢
一样用到|fn|<|f|+e 及|f|<|fn|+e 差别是一个是逐点 ，一个是整个范围去看
所以会互相影响
有错请指正
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2F：→ chemmachine : 这里fn的有界，还要注意是否是uniformly bounded 03/09 23:07
4F：→ chemmachine : 故第三题如果是一致收敛，加上每个fn有界 才能推得 03/09 23:11
5F：→ chemmachine : f有界 03/09 23:11
6F：→ chemmachine : 一般来说，f有界指整个定义域有界，较好推理fn有界 03/09 23:13
7F：→ chemmachine : 逐点去看每个fn有界不一定得到f有界如1/x在(0，1) 03/09 23:15
8F：推 sogood6108 : 谢谢 大致上了解关系了 不过我好奇的是 感觉均匀收 03/10 12:43
9F：→ sogood6108 : 收敛比逐点收敛强 但均匀收敛要推得f有界 却反而比 03/10 12:44
10F：→ sogood6108 : 比较难? 03/10 12:44
11F：→ chemmachine : 是逐点比较难，均匀两边可互推。pdf里都满详细的。 03/10 13:15
12F：→ chemmachine : 逐点fn有界推不到f有界用1/x在(0，1)去想，可以满 03/10 13:15
13F：→ chemmachine : 足逐点有界的函数逼近，但最後整体无界。 03/10 13:15