作者gnorimim (卡哇佛森)
看板Math
标题[中学] 为何机率不同，期望值却相同？
时间Sat Mar 7 09:26:42 2020
为何1.）取出1、2、3颗红球机率与2.）和3.）取出1、2、3颗红球机率不同，但三种取球方式最後所得的红球个数期望值皆相同？
题目如下：
袋中有3颗红球，5颗绿球，每球被取的机会均等。X为取得红球个数，P为机率，E为期望值
1.）取球三次，每次一球，取後放回，求取得红球个数的期望值。
P(X=0)=75/512
P(X=1)=225/512
P(X=2)=135/512
P(X=3)=27/512
E(X)=[1*（225/512）]+[2*（135/512）]+[3*（27/512）]=576/512=9/8
2.）取球三次，每次一球，取後不放回，求取得红球个数的期望值。
P(X=0)=5/28
P(X=1)=15/28
P(X=2)=15/56
P(X=3)=1/56
E(X)=[1*（15/28）]+[2*（15/56）]+[3*（1/56）]=63/56=9/8
3.）一次取出三球，求取得红球个数的期望值。
P(X=0)=5/28
P(X=1)=15/28
P(X=2)=15/56
P(X=3)=1/56
E(X)=[1*（15/28）]+[2*（15/56）]+[3*（1/56）]=63/56=9/8
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1F：→ Ricestone : 2跟3是同一件事的期望值，而1跟2是刚好而已 03/07 09:39
2F：→ Ricestone : 这个刚好指的是取後有没有放回的期望值一样 03/07 09:40
3F：→ Ricestone : 但是实验再复杂一点就会有不同了，所以当作刚好就好 03/07 09:41
4F：→ Ricestone : 啊如果你就是想问1跟2为什麽算出来会一样，那就是 03/07 09:52
所以是说1跟2的机率是真的不一样？还是跟抽签原理有关，其实1跟2的机率应该一样？
5F：→ Ricestone : 直接用符号写算式出来而已 03/07 09:53
※ 编辑: gnorimim (172.114.23.5 美国), 03/07/2020 10:41:33
6F：→ Ricestone : 机率当然是真的不一样 03/07 10:47
7F：→ yhliu : 1) 和 2) 期望值相同并非巧合. 03/07 17:51
8F：→ yhliu : 令 Zi 为第 i 次取球结果, X=Z1+Z2+Z3. 03/07 17:53
9F：→ yhliu : 在 1) Z1,Z2,Z3 相互独立, 在 2), 它们不独立. 03/07 17:55
10F：→ yhliu : E[X] = E[Z1]+E[Z2]+E[Z3], 因两种情形 Z1,Z2,Z3 的 03/07 17:56
11F：→ yhliu : 个别机率是相同的, 所以期望值相同. 03/07 17:57
12F：→ yhliu : 都是 P[Zi=1] = 3/8 = 1-P[Zi=0] 03/07 17:58
13F：→ Ricestone : 原来如此，那的确可以由抽签原理解释了 03/08 03:15
14F：→ Ricestone : 不过我的巧合主要还是指这样一个独立和不独立的实验 03/08 03:16
15F：→ Ricestone : 有一个期望值相同的结果，现在看来该说是指抽签原理 03/08 03:17
16F：→ Ricestone : 本身 抽签原理本身算是有更深的数学意含吗？ 03/08 03:18
18F：→ chemmachine : 这儿有类似的。期望值不管如何抽都是红球机率*3,符 03/08 03:32
19F：→ chemmachine : 合直觉。 03/08 03:32
20F：→ chemmachine : 推yh大 03/08 03:32
21F：→ chemmachine : 3/8 *3=9/8 03/08 03:33
22F：推 yhliu : 1) 就是所谓 "独立 Bernoulli 试验" 的例子; 03/08 07:50
23F：→ yhliu : 2) 是有限二项群体抽样的例子. 03/08 07:51
24F：→ yhliu : 1) 的 X 的分布是二项分布, 2) 是超几何分布. 03/08 07:52
25F：→ yhliu : 两者差在 Zi 的联合机率分布不同. 计算期望值时只跟 03/08 07:54
26F：→ yhliu : 个别 Zi 的分布有关, 计算标准差或变异数则和诸 Zi 03/08 07:56
27F：→ yhliu : 两两的共变异数或相关系数有关; 至於 X 的分布则和 03/08 07:58
28F：→ yhliu : 诸 Zi 完整的联合机率分布有关. 03/08 07:59
29F：→ yhliu : 所以如果只要看其望值, 三种抽样(抽球)架构得到的 03/08 08:01
30F：→ yhliu : E[X] 是一样的. 2) 和 3) 的差异则在於要不要区别 03/08 08:03
31F：→ yhliu : 诸 Zi? X=Z1+Z2+Z3 对诸 Zi 同样对待, 所以 2), 3) 03/08 08:04
32F：→ yhliu : 的 X 有相同机率分布. 03/08 08:05