※ 引述《LandLawrence (Lawrence)》之铭言： : 坊间常看到若要证明空集合｛｝是任意集合S的子集合，出发点是验证空集合｛｝里的所 : 有元素x都是集合S的元素 : If x属於{}, then x属於S : 然而因为前提x属於｛｝为假，所以这整个推论为真。 : 但是我认为同样 : If x属於{}, then x不属於S : 这个逻辑推论亦可为真。请问数学及逻辑高手的大大们，是我有误解了什麽吗？空集合怎 : 麽可以是任意集合的子集合也可以不是任意集合的子集合呢？ https://reurl.cc/Rda9Mz 做些整理，然後用完整的逻辑符号叙述 Φ代表空集合("the" empty set) 叙述一: (每一列都是逻辑等价) Φ is a subset of every set. ∀S(Φ⊆S) ∀S∀x(x∈Φ→x∈S) 叙述二: ∀S∀x(x∈Φ→﹁(x∈S)) ∀S∀x(﹁(x∈Φ)Ｖ﹁(x∈S)) 叙述三:(每一列都是逻辑等价) Φ is not a subset of any set. ∀S﹁(Φ⊆S) ∀S﹁(∀x(x∈Φ→x∈S)) ∀S∃x﹁(x∈Φ→x∈S)) ∀S∃x﹁(﹁(x∈Φ)Ｖ(x∈S))) ∀S∃x((x∈Φ)Λ﹁(x∈S)) 说明: 因为 x∈Φ→x∈S 是vacuously true，所以 x∈Φ→﹁(x∈S) 也是vacuously true。故，叙述一是true，叙述二也是true。 但是叙述二不等价於这句话"Φ is not a subset of any set."， 理由请比较叙述二和叙述三。 至於叙述二要怎麽用英文(或其他自然语言)叙述，我没想出来，可能没办法简单叙述。 另外，叙述三是false理由是因为 ∃x((x∈Φ)Λ﹁(x∈S)) implies "Φ is not empty"。这样就矛盾了，因为我们已经假设Φ是空集合。 这部分是参考网址里的一楼 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 122.121.87.229 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1582391848.A.7C9.html ※ 编辑: annboy (122.121.87.229 台湾), 02/23/2020 01:33:43 感谢楼上2位，已修正内文 的确，叙述二似乎可以写成"Φ is a subset of the complement of every set"。 ※ 编辑: annboy (122.121.86.13 台湾), 02/23/2020 15:12:18