作者LandLawrence (Lawrence)
看板Math
标题[代数] 证明空集合是任意集合的子集合
时间Sat Feb 22 18:31:39 2020
感谢这麽多热烈回应，为了减省讨论所需的字数，增加一些定义跟编号方便讨论！
A为B的子集合定义:
A所有的元素全都是B的元素，称为1-1
A不是B的子集合则为：
A的元素不全都是B的元素，称为1-2
A中存在至少一个元素不为B之元素，为0-2
坊间常看到若要证明空集合｛｝是任意集合S的子集合，出发点是验证空集合｛｝里的所
有元素x都是集合S的元素
If x属於{}, then x属於S，称为1-1
然而因为前提x属於｛｝为假，所以这整个推论为真。
但是我认为同样
If x属於{}, then x不属於S，称为2-1
这个逻辑推论亦可为真。请问数学及逻辑高手的大大们，是我有误解了什麽吗？空集合怎
麽可以是任意集合的子集合也可以不是任意集合的子集合呢？
补充：
存在元素x，x是空集合｛｝的元素且不是S的元素，称为2-2
--
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1F：推 annboy : 我有个看法，虽然你写的两句都是vacuously true02/22 18:55
2F：推 transk : 你的推论是对的，然而你的推论并不是02/22 18:56
3F：→ transk : 「不是子集合」的满足条件。02/22 18:56
4F：→ transk : 「空集合不是S的子集合」需要检查的是02/22 18:56
5F：→ transk : 「空集合里"存在"某一元素不属於S」，02/22 18:56
6F：→ transk : 但是空集合里没有存在这样的元素，02/22 18:56
7F：→ transk : 故空集合不满足「不是S的子集合」02/22 18:56
transik 但是我觉得按照同样的标准，空集合里也不存在有在S内的元素，这样是不是也
不满足是S子集合的条件。因为我觉得要为S的子集合的条件是，一集合所有的元素都是S
的元素。
8F：→ transk : 抱歉annboy我好像断到你囧02/22 18:57
9F：→ annboy : 但第二句的contrapositive是FLASE，所以只认第一句02/22 18:57
10F：→ annboy : 没关系OUO02/22 18:58
11F：→ annboy : 更正一下是FALSE才对 Orz02/22 19:02
annboy 不好意思我不太懂contrapositive，可以说一下怎麽操作吗～
※ 编辑: LandLawrence (42.73.37.203 台湾), 02/22/2020 19:34:14
※ 编辑: LandLawrence (42.73.37.203 台湾), 02/22/2020 19:34:58
※ 编辑: LandLawrence (42.73.37.203 台湾), 02/22/2020 19:39:19
※ 编辑: LandLawrence (42.73.37.203 台湾), 02/22/2020 20:08:12
12F：→ annboy : P->Q的contrapositive 是 !Q->!P , google关键字就02/22 20:26
13F：→ annboy : 有02/22 20:26
意思是若非Q则非P吗？如果是，那麽我整理一下。
原文章中，第二个命题的contrapositive 为：
If x属於S, then x不属於{}
这不是true吗？为什麽是false
※ 编辑: LandLawrence (42.73.37.203 台湾), 02/22/2020 20:37:20
14F：→ annboy : 你说得对，我搞错了，我想想其他方向 02/22 22:58
谢谢大大，我想好久了想不透这个证明啊～～
※ 编辑: LandLawrence (42.73.37.203 台湾), 02/22/2020 23:00:43
15F：→ Ricestone : 你要连着述词讲，第二个叙述不是用Vacuously True02/22 23:25
16F：→ Ricestone : 一开始的定义是∀x(x∈A→x∈B) 02/22 23:27
17F：→ Ricestone : 而你想表达的第二种是∃x(x∈A and x!∈B) 02/22 23:29
18F：→ Ricestone : 这时第二种不是Vacuouly True，而是它的否定 02/22 23:30
19F：→ Ricestone : 也就是恒为F 02/22 23:31
Ricestone 我好像懂你的意思。我整理一下，原文第二种表达的意思会是
所有在｛｝中的元素，都不属於S。这句是true，我称作2-1。
你给的陈述是
存在元素x，x是｛｝的元素且不是S的元素
。这是false，我称作2-2。
2-2很像非子集合的定义，因为是false，所以不存在元素x是属於｛｝且不是S的子集合。
但是2-1的推论依然为真，这还是令人很困惑。
甚至我觉得从定义出发，若A为B的子集合，则A所有的元素都是B的元素来看，A非为B之子
集合定义应是并非所有A之元素皆为B之元素，若进而说A至少有一个不为B之元素(0-2)是
有点问题的。因为非子集合定义并没有明确排除若A不含任何元素是否合并非所有元素皆
为B之元素的范畴。所以我觉得在证明出来空集合是任意集合的子集合前，使用(0-2)不太
妥当。
21F：→ annboy : 这篇是我目前找到最相关的了 可以参考看看02/22 23:46
annboy 这篇好像有讲到我的困惑，我逻辑符号运算这两天才读，不太流利。待我消化一
下
※ 编辑: LandLawrence (42.73.37.203 台湾), 02/23/2020 00:44:02
22F：→ Ricestone : 你的问题就是 "不是子集合"的定义错了02/23 01:56
23F：→ Ricestone : 我写的第二种才是"不是子集合"的定义，实际上就是02/23 01:57
24F：→ Ricestone : 第一句话的否命题02/23 01:57
25F：→ Ricestone : 讲错了，这不叫否命题，是第一句的否定而已02/23 01:59
26F：→ Ricestone : 你内文讲的两种事情当然都对，但是否子集合不是只看02/23 02:00
27F：→ Ricestone : 你内文这两句 重点就是你这样写没有量词02/23 02:00
28F：→ Ricestone : 你要先知道限定范围之全称叙述的否定该怎麽变02/23 02:10
29F：→ Ricestone : 我用你的记号，(2-1)我是已经把它写成容易逻辑推演02/23 02:15
30F：→ Ricestone : 的形式，实际上常见的会是∀x∈A(x∈B)02/23 02:17
31F：→ Ricestone : 而(2-2)常见的叙述就是∃x∈A(~(x∈B))02/23 02:19
32F：→ Ricestone : 你可以看到全称跟存在这两种叙述外观上很像，但其实02/23 02:19
33F：→ Ricestone : 拆开来的样子是不一样的，一个是if then，一个是and02/23 02:20
34F：→ Ricestone : 啊我看错了，我说的(2-1)指的是我给的"子集合"定义02/23 02:49
→ Ricestone : 总之你的2-1无法判断是否子集合，也就是transk讲的 02/23 02:52
Ricestone 是，我们歧异就在非子集合的定义上。因为我认为当引入空集合的定义後，还
应该定义非子集合为：A至少存在一个元素不为B之元素吗？因为空集合对某些人的直觉来
说显然也不合子集合的定义：所有A之元素皆为B的元素（1-1）所以我才想应该要有一个
更强的证明是不先以0-2来定义空集合。也就是在有空集合存在的情况下，2-2还能是子集
合定义1-1的否定吗？
另外2-1虽然不能判断是否为非子集合，但显然是非子集合的一种情况，所以我觉得还是
与2-1矛盾。
35F：→ ERT312 : 为何2-1为真会令原po困惑? 2-1的意思不就是空集合是02/23 03:00
36F：→ ERT312 : S的余集(U\S)的子集。空集是任何集合的子集 自然也 02/23 03:02
37F：→ ERT312 : 会是S'的子集 02/23 03:02
哇哇哇！ERT312高手高手高高手！了解！
ERT312 不好意思，我想想又觉得不太对。因为这样虽然空集合是S'的子集合，但就不是S
的子集了，如此就不是所有集合的子集合
※ 编辑: LandLawrence (42.73.37.203 台湾), 02/23/2020 08:15:15
38F：推 LPH66 : 所以果然你还是纠结在「子集合」的定义上 02/23 08:17
39F：→ LPH66 : 你的「显然也不合子集合的定义」即是 Vacaous Truth 02/23 08:18
40F：→ LPH66 : 的概念: 因为前件为假所以整个推论为真 02/23 08:18
41F：→ LPH66 : 而这个推论为真即是子集合的定义 02/23 08:19
42F：推 LPH66 : 也就是说, 这条推论是为 Vacaous Truth 02/23 08:21
43F：→ LPH66 : →空集合符合这个子集合定义→空集合是所有集合子集02/23 08:21
44F：→ LPH66 : 你的问题应该就卡在这个推论串的第二点上吧 02/23 08:21
45F：→ LPH66 : 集合 A 不会既是又不是集合 B 的子集, 所以一旦给了 02/23 08:23
46F：→ LPH66 : 「是 B 的子集合」的定义, 就能得到「不是 B 的子集 02/23 08:24
47F：→ LPH66 : 合」的定义, 这不是你能够分开另给定义的东西 02/23 08:24
48F：→ Ricestone : 你的符号除了明讲2-1跟2-2的以外什麽是什麽？02/23 08:26
49F：→ Ricestone : 是有括号的前面代表你的定义是吗？ 02/23 08:29
50F：→ Ricestone : 讲清楚一点，2-1这定义过强（适用范围小），当然会02/23 08:32
51F：→ Ricestone : 导致两种说法中间会不同的状态啊 02/23 08:32
52F：→ Ricestone : 不对，我被你弄糊涂了 2-1是讲空集合不是讲子集02/23 08:38
53F：→ Ricestone : 我现在是看不懂你为何说非子集合不应该那样定义 02/23 08:39
※ 编辑: LandLawrence (42.73.37.203 台湾), 02/23/2020 08:46:18
54F：→ Ricestone : 不然你可以试着用你的非子集合定义推论子集合定义02/23 08:46
Ricestone 我把编号整理在原文中，我也再想一想你所说。我认为不该以0-2定义是因为1
-1的否定是1-2: A的元素不全都是B之元素。假如有规定一个集合一定至少要有一个元素
，那麽我认为0-2是对的。但是有空集合存在，那麽空集合乍看之下似乎也满足不全都是B
的元素规范。
※ 编辑: LandLawrence (42.73.37.203 台湾), 02/23/2020 12:12:28
※ 编辑: LandLawrence (42.73.37.203 台湾), 02/23/2020 12:36:42
55F：→ Ricestone : 它就同时是S'跟S的子集合 你现在用太多感觉了 02/23 12:23
56F：→ Ricestone : 反正那连结里面最终想讲的跟大家讲的一样 02/23 12:24
57F：→ Ricestone : 你的子集合定义推导出的非子集合的定义不对 02/23 12:24
58F：→ Ricestone : 你这样大概还会多另一个问题，我先回答 02/23 12:26
59F：→ Ricestone : 属於跟包含於是不一样的 02/23 12:26
60F：→ Ricestone : 1-1的否定不是1-2，是0-2 02/23 12:39
61F：→ Ricestone : 你应该要写成逻辑语言，中文的不放在那边很尴尬 02/23 12:40
Ricestone 对，我好像知道盲点在哪里了。
62F：推 Vulpix : 「不全都」就是「有的不是」，要「有」啊…… 02/23 13:49
※ 编辑: LandLawrence (42.73.37.203 台湾), 02/23/2020 14:03:44