作者znmkhxrw (QQ)
看板Math
标题[分析] 条件机率唯一性
时间Mon Feb 10 16:25:02 2020
想针对条件机率的唯一性做证明或是找范例, 如下图所示, 手机不好打数学符号sor
https://i.imgur.com/I8G6QsE.jpg
这里稍微解释一下为什麽有这个问题, 符号都是跟上图一致:
1. P(A|B), 就是图片的Q, 的直观定义是"当event B发生时, event A发生的机率是多少"
但是这句英文没有数学定义式, 除非去定义何谓"event发生"
2. 在wiki的条件机率定义中, 有一派直接把Q当成条件机率的定义
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Conditional_probability
3. 在proofwiki他给正式定义一样是"当event B发生时, event A发生的机率是多少", 然
後"证明"这个值等於Q
但是问题一样在於没有"event发生"的定义, 所以他证明充满文字叙述, 我也觉得怪怪的
4. 之後在proofwiki的页面说Q也会在原本的measurable space是一个probobility measu
re, 这就让我想到说, 如果具有Q(B)=1的Q是唯一的话, 那就可以很合理的定义出条件机
率是唯一了(即图片的<Question>)
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我自己是对於"当event B发生时, event A发生的机率是多少"定义成Q那样不太直观, 但
是如果大多数人都接受只是个人接受度问题的话, 那这篇问题就只是直接问图片的<Quest
ion>是否正确以及若否的反例
谢谢帮忙~~
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 114.137.167.137 (台湾)
※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1581323104.A.44F.html
1F：推 Vulpix : Question？当然是错的。你可以在同一个B上面赋予02/10 16:41
2F：→ Vulpix : 很随便的probability measure。02/10 16:42
3F：→ Vulpix : 至於定义成Q直观不直观。至少拿样本点有限的机率空02/10 16:44
4F：→ Vulpix : 间来看的时候，应该不算走太多弯路。 02/10 16:45
5F：→ Vulpix : 你的问题必须要多考虑B和Σ之间的相容性，或者说02/10 16:46
6F：→ Vulpix : B上的机率要「继承」Σ上的机率。02/10 16:47
7F：→ Vulpix : 一般来说，我觉得Q(X)/Q(Y)=P(X)/P(Y)应该够直观。 02/10 16:49
嗨V大, 在Omega是finite set时(古典机率)确实那个定义很直观我可以接受
至於会问那个Question是因为wiki最後有多加几个条件然後去证明Q必然是条件机率的形
式, 而其中一个条件就是你说的要跟原本的P拉关系, 所以我才在想不拉会怎样
而又因为proofwiki直接把"当event B发生时, event A发生的机率是多少"当成是formal
definition, 所以我才想说如果那个Question是对的话, 代表唯一, 所以formal definti
on定义成新的measure Q就很合理
刚刚真的随便就造反例, 跟P拉条件很必要 谢谢
※ 编辑: znmkhxrw (114.137.167.137 台湾), 02/10/2020 17:04:47
8F：→ yhliu : 看了你的文, 去查了WIKI, 发现WIKI关於条件机率写得02/10 19:29
9F：→ yhliu : 很奇怪! (1) 互斥性: 第一次看到以P(AB)=0为A与B互02/10 19:31
10F：→ yhliu : 斥之定义的;(2)"形式定义", 根本不是什麽形式定义,02/10 19:34
11F：→ yhliu : 只不过是涉及一个随机变数而已. 不涉及随机变数亦可 02/10 19:36
12F：→ yhliu : 直接衍生出一个条件机率空间, 也就是 "其他" 的Q测 02/10 19:38
13F：→ yhliu : 度所在的空间, 或缩减样空为B;(3)"形式定义" 中, 02/10 19:41
14F：→ yhliu : P_X(A)≧0 似应为 P_X(A)>0, 这也才符合 "A不是零测 02/10 19:44
15F：→ yhliu : 集" 的说法, 并使後面条件分布的定义有意义. 02/10 19:45
16F：→ yhliu : (4) 所谓 P(A|B) 大致等於 P(B|A) 的谬论不知怎麽来 02/10 19:48
17F：→ yhliu : 的, 一个是A的机率, 一个是B的机率, 就算真有"数盲" 02/10 19:50
18F：→ yhliu : 会有这种荒谬的误会, 也谈不上 "谬论" 的程度.02/10 19:52
19F：→ yhliu : 回到原问题, Vulpix 说的曷对的, 你的 Q' 除了02/10 20:02
20F：→ yhliu : Q'(B)=1=Q(B) 以外没有任何条件, 当然不可能 Q'=Q02/10 20:04
21F：→ yhliu : 条件机率或者直接定义P(A|B)=P(AB)/P(B), 或者以 02/10 20:05
22F：→ yhliu : P(AB)=P(B)P(A|B)定义, 或者要求 02/10 20:07
23F：→ yhliu : P(E|B)/P{F|B)=P(E)/P(F) for all E,F in Σ02/10 20:08
24F：→ yhliu : de Finetti 的条件机率空间定义曷不经一个无条件机 02/10 20:12
25F：→ yhliu : 率空间空接以条件机率为主, 我不记得细节了, 印象中 02/10 20:13
26F：→ yhliu : 好像也是用1乘法律 P(AB)=P(B)P(A|B) 来界定具体的02/10 20:15
27F：→ yhliu : 条件机率设定, 或说是连系了条件机率和无条件机率.02/10 20:17
28F：→ yhliu : 真正会涉及唯一性问题的其实不是这种given an event02/10 20:19
29F：→ yhliu : 的条件机率问题, 而是 given a σ-field 的条件机率02/10 20:21
30F：→ yhliu : 修正一下:条件机率的条件应是:02/10 21:38
31F：→ yhliu : P(E|B)/P{F|B)=P(E)/P(F) for all E,F 为 B之子事件02/10 21:39
32F：→ yhliu : 或 P(E|B)/P{F|B)=P(EB)/P(FB) for all E,F in Σ02/10 21:40
y大你意思是说照你最後两列推文任何一列条件都能导出条件机率测度的唯一性, 就是等
於常看到的P(A|B)?
※ 编辑: znmkhxrw (42.73.42.87 台湾), 02/11/2020 01:58:24
33F：→ yhliu : 显然那两列条件是等价的. 若再加上 P(B|B)=1 条件1, 02/11 06:54
34F：→ yhliu : P(E|B) = P(E|B)/P(B|B) = P(EB)/P(B). 02/11 06:55
35F：→ yhliu : 说那两条件等价, 是还加上 P(E|B)=P(EB|B) 的约定. 02/11 07:00
36F：→ znmkhxrw : 了解~感恩~^^ 02/11 07:46