作者znmkhxrw (QQ)
看板Math
标题[分析] 实变 Sfg = (Sf)(Sg)
时间Fri Feb 7 00:38:48 2020
想请问一下怎麽证明下面这件事:
Let (E, Σ, μ) be a measure space, μ(E) < +∞
f, g: E → Ｒ∪{+-∞} be two measurable functions
F(x):= μ({f <= x}) , F: Ｒ→Ｒ
G(x):= μ({g <= x}) , G: Ｒ→Ｒ
J(x,y):= μ({f <= x}∩{g <= y}), J: Ｒ╳Ｒ→Ｒ
if (1) f, g, f*g are L^1(E)
(2) for any x, y in Ｒ, J(x,y) = F(x)G(y)
then ∫f*g dμ = (∫f dμ)(∫g dμ) (*是相乘不是卷积)
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简单说我想要证明两个随机变数X,Y如果independent则uncorrelated(等价於期望值可拆)
但是查很多reference要马假设有density function(额外假设F, G是绝对连续, 且J可微)
要马就是考虑离散型
完全找不到直接用定义证明的case...
而wiki有一个拆解感觉有机会(虽然他写成density function形式, 但我把它换回来F)
(
https://en.wikipedia.org/wiki/Product_distribution )
但是我卡在 μ({g <= x/f, f>=0}) 这种形式不知道怎麽拆 就没办法写下去了
所以直接写成measure space的题问来发问
谢谢!!
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 59.102.235.174 (台湾)
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※ 编辑: znmkhxrw (59.102.235.174 台湾), 02/07/2020 00:50:40
1F：推 Vulpix : 我觉得你符号用得有点乱，以致有些东西写错了。 02/07 04:04
2F：→ Vulpix : 但你要的东西，概念上应该就是 Fubini's Thm. 吧？02/07 04:04
V大乱是指下面解释的地方吗?
我一开始陈述的那些符号有哪些地方不清楚阿??
用到Fubini的方式就是我下面说的一些证明都假设F, G是绝对连续所以有微分存在, 但是
今天F, G不一定是绝对连续, 所以才问有没有直证的方式
3F：→ Pieteacher : young inequality for convolution02/07 12:54
请问是用在哪一步呢
※ 编辑: znmkhxrw (114.137.152.209 台湾), 02/07/2020 14:51:19
4F：→ yhliu : 这结果的证明大概是循下列步骤:02/07 14:53
5F：→ yhliu : (1) 首先考虑 f,g 是 indicator 的情形,02/07 14:55
6F：→ yhliu : (2) 其次考虑 simple functions;\02/07 14:56
7F：→ yhliu : (3) 接着考虑 nonnegative functions;02/07 14:57
8F：→ yhliu : (4) 然後是 integrable functions.02/07 14:58
9F：→ yhliu : (5) 最後可以考虑一般的 f, g.02/07 14:59
y大我有看到simple function的证明方式, 但是一般f, g证不过去 原因如下:
我的条件(2)在统计中叫作f,g这两个随机变数independent
而今天如果f, g是simple function, 那麽确实很好证明当f, g是independent时定理成立
所以要能对general f, g用以上结果的话, 就必须找到两串simple functions f_n到f, g
_n到g, 并且f_n与g_n是independent for all n
所以问题就是在如何让这两串simple functions在每个n都independent吗
※ 编辑: znmkhxrw (114.137.152.209 台湾), 02/07/2020 15:05:04
10F：→ yhliu : 文中 f*g 应系指相乘, 而非 convolution. 02/07 15:01
11F：→ yhliu : Fubini's Thm. 似乎是用在 product measure 而非此02/07 15:03
12F：→ yhliu : 问题?02/07 15:03
相乘没错 还是V大就是说那边很怪 我改一下
※ 编辑: znmkhxrw (114.137.152.209 台湾), 02/07/2020 15:06:27
13F：→ yhliu : 如果 simple functions 部分已证得, 02/07 15:13
14F：→ yhliu : 假设 f, g 非负. 取 simple functions 序列 f_n,g_m 02/07 15:15
15F：→ yhliu : f_n↑f, g_m↑g ==> f_n g_m ↑ fg. 02/07 15:16
16F：→ yhliu : 记得有一个定理: f_n↑f ==> ∫f_n ↑ ∫f 02/07 15:17
17F：→ yhliu : 这就证得 f, g 非负情形.02/07 15:18
18F：→ yhliu : 至於 f, g 可积也容易. f=(f+)-(f-), g=(g+)-(g-) 02/07 15:20
19F：→ yhliu : 一般情形则需小心分析, 避免 ∞-∞ 之类情况.02/07 15:21
20F：→ yhliu : μ{f≦x,g≦y}=μ{f≦x}μ{g≦y} for all x, y, 则02/07 15:24
欸对阿 y大你这个方式就是我想要的方式.这个操作需要f_n与g_n是independent不是吗?
※ 编辑: znmkhxrw (114.137.152.209 台湾), 02/07/2020 15:26:34
21F：→ yhliu : μ{a<f≦b,c<g≦d} = μ{a<f≦b}μ{c<g≦d} 易证. 02/07 15:26
22F：→ yhliu : f_n = Σ{k=1 to n2^n} (k-1)/n I_{(k-1)/n<f≦k/n}02/07 15:28
23F：→ yhliu : f_n↑f, g_m↑g, 则 f_n g_m ↑ f g.02/07 15:29
24F：→ yhliu : 上面我是用 f_n, g_m, 事实上用 f_n, g_n 无妨.02/07 15:31
25F：→ yhliu : 所以 ∫fg = lim∫f_ng_n = lim∫f_n∫g_n02/07 15:33
26F：→ yhliu : = lim∫f_n lim∫g_n = ∫f ∫g 02/07 15:34
27F：推 PPguest : 想请教一下z大,不知道我这样想对不对 02/07 16:08
28F：→ PPguest : 如果想成Lebesgue measure,式子就变成这样： 02/07 16:10
29F：→ PPguest : ∫∫f(x)g(y)dx dy = (∫f(x)dx)(∫g(y)dy)02/07 16:10
30F：→ PPguest : 这样子的话看V大说Fubini定理似乎就可以理解02/07 16:11
31F：→ PPguest : 我好像搞错,等号左边应该是∫f(x)g(x)dx,不太一样02/07 16:35
嗨P大 我试着搬进去没有发生什麽事XDDD
32F：→ yhliu : 不是, 是 ∫f(ω)g(ω) dμ. 02/07 16:51
33F：→ yhliu : f, g 的值在延伸实数集上, 定义域则不是. 02/07 16:53
y大我上面有回你了 所以检查你造出来的f_n, g_n会有independet的性质罗?
※ 编辑: znmkhxrw (114.137.152.209 台湾), 02/07/2020 16:55:45
34F：→ PPguest : 感谢y大,你说的对.前面我自动想成E在实数里 02/07 17:18
36F：→ chemmachine : 根VULPIX大一样。用独立把dp(xy)拆成dp(x)dp(y) 02/07 18:31
37F：→ chemmachine : E(XY)=LEBESGUE XY dP(XY)=E(X)E(Y) 02/07 18:32
38F：→ chemmachine : 这边只会讨论MESURABLE函数，大定理大该是用的YH大 02/07 18:33
39F：→ chemmachine : 的流程。 02/07 18:36
40F：→ chemmachine : 这边的定理是用范围，机率论基乎都要可测，不会讨论 02/07 18:37
41F：→ chemmachine : 到不可测的函数，虽然它们数目比可测多很多 02/07 18:38
42F：→ chemmachine : 不可测函数不会符合机率公设，个人浅见 02/07 18:39
43F：→ yhliu : 不可测根本无法讨论相关的测度, 更甭谈积分. 02/07 19:09