作者annboy (BlueGun)
看板Math
标题Re: [分析] (实变)连续随机变数定义
时间Sun Jan 19 15:09:49 2020
※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之铭言：
: 想请问一下连续随机变数的定义, 目前我看到两种版本
: -----------------------------------------------------------
: <Def1>
: 我们说一个随机变数是 离散:= 其值域可数
: 连续:= 其值域不可数
: <Def2>
: Formally, a continuous random variable is a random variable whose cumulative
: distribution function is continuous everywhere
: -------------------------------------------------------------
为了避免混淆，先定义一些符号:
(Ω,B,P) : probability space
Q : the set of all rational numbers
X:Ω→Q : a random variable
F:Q→[0,1] : CDF of X
为了强调F是定义在Q上，所以argument 都用q, p 等等来表示，而不是x, y
证明脉络大概是:
(a) There exists q∈Q such that 0 < P{X = q} ≦ 1.
(b) For such q in (a), F is not left continuous at q.
Proof of (a):
If p1 ≠ p2, {ω∈Ω: X = p1 } and {ω∈Ω: X = p2 } are disjoint. Thus,
F(q) = P{X ≦ q} = Σ P{X = p}
p∈Q,p≦q
by the probability axiom.
(注:这一点区分了可数与不可数，不可数的话不能写成这种形式的summation)
If P{X = p} = 0 for all p∈Q, then P(Ω) = Σ P{X = p} = 0,
p∈Q
which contradicts to the probability axiom, P(Ω) = 1.
Therefore, there exists p∈Q such that 0 < P{X = q} ≦ 1. □
Proof of (b):
Following from (a), We define α = P{X = q}.
Choose ε, 0 < ε < α, then for all δ > 0,
there exists p∈Q, 0 < q - p < δ such that
F(q) - F(p)
= P{X ≦ q} - P{X ≦ p}
= P{p < X ≦ q}
≧ α
> ε.
It follows that F is not left continuous at q. □
Conclusion:
总结来说，只要X的range是实数的可数子集，就可以找到一个q使得
α = P{X = q} > 0。 (a)对所有可数子集都成立。
上述的可数子集如果是有理数集，对於该点q，只要选定任意的ε, 0 < ε < α，
这样的ε都找不到与之对应的δ > 0，因为总是可以找到一个和q很靠近，
但是满足 0 < q - p < δ 的有理数p，使得 F(q) - F(p) 至少是 α。
对於其他可数子集，应该都有类似於(b)的证明法。
回到原本的主题，如果上述结论无误的话，
在Def1如果是离散，就不会满足Def2的连续。
反过来说，满足Def2就一定是Def1的连续。
--
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※ 编辑: annboy (140.116.92.98 台湾), 01/19/2020 15:11:02
1F：推 znmkhxrw : a大你这个结论对於"F:R→[0,1]"还会成立吗?? 01/19 22:31
2F：→ znmkhxrw : 我原文的意思是 X:Ω→R with range(X) = Q 01/19 22:31
3F：→ znmkhxrw : F:R→[0,1] 01/19 22:32
4F：→ znmkhxrw : 不知道这样的F是否一定会存在不连续点 01/19 22:32
5F：→ annboy : 这样的话，可以得到 P{ω∈Ω: X(ω)∈Q} = 1 01/20 00:56
6F：→ annboy : 然後重复(a)(b)同样的证明，可以得到同样结果 01/20 00:57
忘了用编辑= =
给定ε, 0 < ε < α,同样对於任意 δ > 0，还是找得到例外的p。
※ 编辑: annboy (1.173.179.20 台湾), 01/20/2020 01:03:03
7F：推 znmkhxrw : 好的~我在试试看 感恩~ 01/20 01:07
8F：→ znmkhxrw : 因为我是参考Zygmund的Ch10抽象测度, "实"变几乎都 01/20 01:07
9F：→ znmkhxrw : 限定实数才有完备性, 所以我才特别问一下为什麽是Q 01/20 01:08
10F：→ znmkhxrw : 以及重申我所谓的Q单纯是range, X的对应域与F的定义 01/20 01:09
11F：→ znmkhxrw : 域还是会想限制在R 01/20 01:09
关键是有一行我是默认了Q在R中dense，也就是 q - δ和 q 中间必定存在有理数 p
所以也算是我默认了完备性。比较神奇的是如果F只定义在Q上，
那 F(q - δ)是没有定义的，但这个 p 依然会存在，因为
{p∈Q: q - δ< p < q} 依然是非空的。所以无论F定义在R或Q上，(b)一样成立
加入了无理数後就跟下一篇Y大讲的一样，
F在所有满足 P{X = p} > 0 的点 p 都不连续，理由就同(b)。
我自己是卡在:如果F只定义在Q上，那continuity是不是还有意义。
如果说已经默认定义了R，只是把F:Q→[0,1]视为G:R→[0,1] 的restriction
用ε-δ的定义试过後，应该是没有问题。
※ 编辑: annboy (1.173.179.20 台湾), 01/20/2020 01:45:11
12F：→ yhliu : 首先, 我没听过看过把分九布函数定义在 Q 上的. 01/20 07:58
13F：→ yhliu : 其次, 对一个定义在Q上的函数, 谈连续性当然也是可 01/20 08:00
14F：→ yhliu : 以的. 即使沿用R上的ε-δ论述, δ只要取有理数, 01/20 08:02
15F：→ yhliu : q-δ 远是在Q中. 01/20 08:02
我打这篇文时是想说只要X的codomain是一个measurable space就行了，
试了一下发现没啥问题，就这样写了。
不过看来我证明中默认的Q里的topology也是类似R的方式，似乎不如就定义在R比较妥当
δ取实数或只取有理数应该都对
※ 编辑: annboy (1.173.179.20 台湾), 01/20/2020 13:01:31