作者Poincare (庞加莱)
看板Math
标题Re: [中学] 数论问题
时间Thu Jan 2 20:13:27 2020
※ 引述《kevin63875 (Zedgod)》之铭言：
: https://i.imgur.com/Ym4LVx4.jpg
: 请问各位大大这题要怎麽算
题外话，这看起来不像数论问题...
首先，对於所有 n，利用配方法：
a_{n+1} ≦ - a_n^2 + a_n = - (a_n - 1/2)^2 + 1/4 ≦ 1/4，
特别的，a_1 ≦ 1/4 ＜ 1/(1+1)，所以此叙述於 n = 1 时成立（其实 n = 2 也是）。
现在假设此叙述对於所有不大於 n 的数都对。则
-1/2 ＜ a_n - 1/2 ＜ 1/(n+1) - 1/2 = - (n-1)/(2(n+1))。
因此 (n-1)^2 / (2(n+1))^2 ＜ (a_n - 1/2)^2 ＜ 1/4。
所以 a_{n+1} ≦ - (a_n - 1/2)^2 + 1/4
≦ - (n-1)^2 / (2(n+1))^2 + 1/4
≦ 4n / (2(n+1))^2
＝ n / (n+1)^2
＜ 1 / (n+2)。
故由数学归纳法得证！
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