作者Vulpix (Sebastian)
看板Math
标题Re: [中学] 台南市公私立数学竞赛决赛/整数数论
时间Mon Dec 16 15:03:33 2019
※ 引述《AZsorcerer (AZ)》之铭言：
: 已知p为质数，如果方程式
: (x^2 -5x -5) / (3p^2 +p +19) =1有正整数解
: 试问所有可能的p值为何？
: -----
: 已经爆开过找出5和23
: 目前我尝试过用判别式，但配不出东西
: 用mod只找出p同余5(mod6)
: 但仍然缺乏一个找上限的方法
: 感谢
先整理、分解，x^2-5x-24 = 3p^2+p => (x-8)(x+3)=p(3p+1)
因为 p 是质数，所以 p|x-8 或 p|x+3。
先看 p|x-8，可设 x-8=pq，代回去得 pq(pq+11) = p(3p+1)，
对 p 整理得 p(q^2-3)+11q-1=0。
所以 q^2-3 和 11q-1 异号，q 只能是 1 或比 -1 小，检查一下就知道都不合。
所以 p|x+3，可设 x+3=pq，代回去得 pq(pq-11) = p(3p+1)，
对 p 整理得 p(q^2-3) = 11q+1。
所以 q^2-3 和 11q+1 同号，q 只能是 -1 或比 1 大。
当 q = -1 时，p = 5、x = 13。
如果 q 是正的，那就观察 q^2-3 | 11q+1，
所以 (11q+1)(11q-1)-121(q^2-3) = 362 也是 q^2-3 的倍数。
q^2-3 只能是 1, 2, 181, 362，但後面三个都不合，即 q = 2。
此时 p = 23、x = 43。
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简单来说，你要的上限是由「362 的因数」来提供的。
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※ 编辑: Vulpix (163.13.112.58 台湾), 12/16/2019 15:48:05
1F：推 AZsorcerer : 非常感谢！ 12/17 14:42
※ 编辑: Vulpix (163.13.112.58 台湾), 12/17/2019 16:14:17