作者chemmachine (chemmachine)
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标题Re: [中学]面积极值
时间Wed Sep 4 23:32:42 2019
※ 引述《HCPaulSC (失去方向)》之铭言：
: 已知四边形ABCD , AB=BC=2 , CD=3 , AC=1
: 求四边形ABCD面积的最大值
: 朋友来求解此题，但小弟脱离高中数学太久想了好久XD
: 我的想法是把四边形切成两个三角形，用1/2ab * sinC这个公式来求，最後再用算几不等式，但算到後面就卡关了，发现既然题目要最大值，怎麽整理到後面会是大於等於 (?)
: 不知道是不是我思考的流程有哪里出错，有别的解法才对呢 Orz
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: Sent from JPTT on my Asus ASUS_Z012DA.
AC应改为AD
这个整体来说是一个已经知道的定理，是一个难题。
整个大定理是等周定理及其引理，
等周定理：若周长固定，则面积为圆时面积最大。
证明WIKI有。
多边形版等周定理：若周长及每边长固定，则圆内接多边形时最大。
当多边形为四边形，则圆内接四边形面积最大。
一个简易的半证明使用拉格朗日乘子法计算极值：
证明其为最小值要用海森矩阵试试看：
令
四边形边长依序为a、b、c、d，a和d夹角x，b、c夹角y，
则面积函数为1/2adsinx+1/2bcsiny
限制式为
a^2+d^2-2adcosx=b^2+c^2-2bccosy
a，b，c，d为已知
f(x，y)=1/2adsinx+1/2bcsiny+lumbda(a^2+d^2-2adcosx-b^2-c^2+
2bccosy)
f对x和y分别偏微分，消去lumbda再整理可得
tanx=-tany
故tanx+tany=0
tan(x+y)=0
sin(x+y)=0
x+y=0或pi
取x+y=pi为极值
故四边形为圆内接四边形。
再用圆内接四边形面积公式得
sqrt(s-a)*(s-b)*(s-c)*(s-d)=
2*SQRT(3) 这里s=1/2(a+b+c+d)=1/2(2+2+3+1)=4
REFERENCE：
1.
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%AD%89%E5%91%A8%E5%AE%9A%E7%90%86
维基百科
2.
http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d173/17304.pdf
3.高中数学竞赛教程，九章出版社(有非拉格朗日乘子的证明，在几何的那几个
章节，手上没书)
4.
http://cplee8tcfsh.blogspot.com/2008/03/blog-post_20.html
彬爸部落格
--
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1F：推 HCPaulSC : 欸答案好像不是这个捏... 09/04 23:46
2F：→ HCPaulSC : 不过我怀疑我朋友讲错了，会不会是求最小值(答案是2 09/04 23:46
3F：→ HCPaulSC : √3) 09/04 23:46
4F：→ HCPaulSC : 不过还是谢谢你 09/04 23:47
5F：→ chemmachine : 答案我算是2sqrt3，是这个呀。 09/04 23:52
6F：→ chemmachine : 是最大值没错 09/04 23:52
7F：→ chemmachine : 我写得不对的话答案怎麽刚好对? 09/04 23:54
8F：→ chemmachine : sqrt就是根号，这题只是等周的子定理 09/04 23:56
9F：→ chemmachine : 这一题海森矩阵是三阶的难算，将限制式消去变数较好 09/05 00:05
10F：推 HCPaulSC : 抱歉看太快看成4了XD 09/05 00:17
11F：→ HCPaulSC : 感谢 ! 09/05 00:17
13F：→ chemmachine : icle18.jsp?mID=27406 09/05 00:24
14F：→ chemmachine : 搜寻”以微积分的方法求四边形面积公式” 张海潮教 09/05 00:32
15F：→ chemmachine : 授文章，他上课教过，我有跟他讨论过以上的证明。你 09/05 00:32
16F：→ chemmachine : 只要知道用圆内接四边形时就会面积最大，深层原因就 09/05 00:32
17F：→ chemmachine : 是等周定理。圆内接四边形面积网路上google一下公 09/05 00:32
18F：→ chemmachine : 式就有。 09/05 00:32
19F：→ chemmachine : 这些资料我以前就看过好几天了，竞赛书以前就整本 09/05 00:32
20F：→ chemmachine : 算过。好像不是用微分解的。 09/05 00:32
21F：→ chemmachine : 文中最小值更正为最大值，写错抱歉。 09/05 00:57