作者Desperato (肥鹅)
看板Math
标题Re: [中学] 证明两圆相切
时间Fri Apr 12 07:33:32 2019
※ 引述《alexan (冷蓝)》之铭言：
: https://imgur.com/083NnSE
: 线段AB与CD互相垂直平分於O，已知线段AO长为a，线段DO长为b，
: 取点F使DF长=a-b，作AF中垂线:交AO於G，交CD於H
: 以G为圆心，GA为半径画圆
: 以H为圆心，HD为半径画圆
: 试证两圆相切於I点
两圆相切 <==> DH - AG = GH
抱歉没什麽好方法，以下是硬干出来的
设 AD 与 IG 交於 E，另外设 AD = c, s = (a+b+c)/2
△ADO ~ △HDE ~ △AEG ~ △HOG
设其边长比例为 (1 = w) : x : y : z
由面积总和可得
w^2 + z^2 = x^2 + y^2 ...(1)
由 OD = b, ED = s-b 可得
bx = (s-b)w ...(2)
由 (△ADO周长 - △HDE周长) 整理可得
2s(w-x) = 2(s-b)(y-z) ...(3)
(1) 整理可得 (w-x)(w+x) = (y-z)(y+z)
代入 (3) 得到 (s-b)(w+x) = s(y+z)
代入 (2) 得到 bx + (s-b)x = sx = s(y+z)
亦即 x = y + z, 因此 DH = AG + GH
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好，我找到最快的解法了XD
计算 (△HDE 周长) - (△AEG 周长) - (△HOG 周长)
= (ED + DH + HE) - (AE + EG + AG) - (GO + OH + GH)
= (ED + DO) - (EA + AO) = s - s = 0
因此考虑比例即可得 DH - AG - GH = 0
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嗯嗯ow o
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1F：推 alexan : 谢谢 04/17 10:17