※ 引述《OfficeGL (妤欣)》之铭言： : 一直搞不清楚估计 : 看了原文书跟中文版越搞越模糊 : 我的认知 : 想要从有限样本 n 来估计母体平均 : 这个 n 实在混乱 : 我认为 n 是每次sample的个数 : 当然 n-> 无限大，那当然平均数会收敛到母体平均 到这里为止，你用到的东西是「大数法则」。(前提是有母体平均。) 不管是强版本还是弱版本，只要母体有平均， 样本平均就会以某种形式收敛到母体平均。 : 而每次sample n笔会得到一次抽验平均 : X1, X2, X3, ... 一直抽样下去 ... : 而上述过程也是一个随机变数 : 我们叫做 K， K ~ Normal 在这个阶段，你用上了「中央极限定理」。 大致上是这个意思：[(X1+X2+...+Xn)/n-μ]/(σ/√n) 会收敛到标准常态分布。 显然，这次不只要有母体平均μ，母体标准差σ也不能是∞。 实务上常常会用这个想法： (X1+X2+...+Xn)/n 差不多是一个常态分布，平均μ、标准差σ/√n。 : 而E[K]用来推估母体平均 你的 K 是什麽，我不太清楚，姑且先当作是 (X1+X2+...+Xn)/n 吧。 从上面可以知道 E[K] 就是μ，不是大概好像彷佛，两个数字就是相等。 然後大数法则保证只要 n 很大，(X1+X2+...+Xn)/n 的抽样值就很接近 E[K]。 : VAR[K] 则表示上面式子的风险性高不高，有就是用来算信赖区间 信心水准约 68% 的信赖区间大概是 [k-σ/√n, k+σ/√n]。 所以问题在於我们不知道怎麽估计σ。 幸好，经过一番计算，E{ [(X1-K)^2+...+(Xn-K)^2]/(n-1) } = σ^2。 所以如果 n = 50 的话，只要重复取好多次 50 笔数据，我们就可以近似出 σ^2 了！ 假设又要做 50 次的话，光是为了估算母体标准差，就要取 2500 笔数据…… (事实上要得到类似的近似，可以用 (x1-x2)^2/2 共 25 组数据平均。 如果为了对称性，可以用 50*49/2=1225 组数据平均， 毕竟 X1 没有和 X2 被绑在一起的理由。而这会得到一样的样本标准差。) 先补一个假设：试验的母体分布应该没有很烂，相信 E[X^4] 一定是存在的。 用 S^2 称呼刚刚那一串 [(X1-K)^2+...+(Xn-K)^2]/(n-1) 吧。 第二个幸好，除了 E[S^2] = σ^2 以外， 算一算可以得到 Var(S^2) = E[(S^2-σ^2)^2] = (E[(X-μ)^4]-σ^4)/n + 2σ^4/n(n-1)， 与 E[(K-μ)^2] = σ^2/n 类似，说明了 S^2 大致上只在 σ^2 附近闲逛。 所以 S^2 的取样值，差不多就能直接当作 σ^2 的估计值了。 此即样本标准差之所以为「样本」「标准差」。 : 可是我看题目 : 都是例如抽50笔 : 这50笔的平均跟标准差 就拿来估计信赖区间了 : 这50笔不是只是一次抽样而已吗？ : 一次抽样就可以估计母体？ : 不是应该要算E[K]跟Var[K]来估计信赖区间吗？ 重点在於我们用到大数法则和中央极限定理，所以在 n 够大的状况下， K 只在母体平均附近闲逛，跟 E[K] 根本差不多； 而 Var[K] = σ^2/n，又 S^2 也只在 σ^2 附近闲逛， 所以 Var[K] 几乎就是 S^2/n 的取样值，不用再平均(除非还想再提高近似程度)。 : 有高手帮忙教学吗～ : 真的头晕脑胀 这篇说到的所有近似都有程度的问题，理论上 n 愈大就近似得愈好。 --

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