作者arthurduh1 (arthurduh1)
看板Math
标题Re: [线代] rank
时间Sat Feb 16 21:00:02 2019
※ 引述《oblivion87 (oblivion87)》之铭言：
: https://i.imgur.com/yi7gEDm.jpg
: 除了暴力列运算的方法以外，请问第一题要怎麽解比较好呢
1F：推 Vulpix : 这题相当於：已知顶多三次的多项式过某两点，两条02/15 19:42
2F：→ Vulpix : 切线也已知。是否恰有一个这样的多项式？答案是Y。02/15 19:42
[ 1 a a^2 a^3 ] [ c_0 ] [ p(a) ]
[ 0 1 2a 3a^2 ] [ c_1 ] = [ p'(a) ] ,
[ 1 b b^2 b^3 ] [ c_2 ] [ p(b) ]
[ 0 1 2b 3b^2 ] [ c_3 ] [ p'(b) ]
其中 p(x) = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3.
其实不求行列式值的话, 用这个观点也许更直接. 关键字是 Hermite interpolation.
要推广到 "任意多个点、每个点都已知特定多阶的导数" 也没有问题.
简述唯一性的证明:
假设有两个符合条件的多项式, 次数至多为 n-1,
则相减的多项式 p(x) 在这些点的那些导数都会是 0.
但 p(a) = 0 以及 p(b) = 0 代表 p'(x) = 0 for some x \in (a, b).
依次往上找, 就会发现 p(x) 的某阶导数有太多相异零点, 因此为零函数.
存在性可以靠 (x-a) (x-b)^2, (x-a)^2 (x-b) 等等多项式凑得.
(特性是微够多次才会在特定点有值, 概念跟 Lagrange interpolation 类似.)
也有差分、CRT 等等看法.
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也能跟 Wronskian 扯上边. 直接用以下推广说明:
[ 1 a a^2 a^3 a^4 a^5 ]
[ 0 1 2a 3a^2 4a^3 5a^4 ]
[ 0 0 2 6a 12a^2 20a^3 ]
[ 1 b b^2 b^3 b^4 b^5 ]
[ 0 1 2b 3b^2 4b^3 5b^4 ]
[ 1 c c^2 c^3 c^4 c^5 ]
考虑微分方程 y^{(6)}(x) = 0,
有解 y(x) = (x+a)^5, 5(x+a)^4, 20(x+a)^3, (x+b)^5, 5(x+b)^4, (x+c)^5.
令这些解的 Wronskian 为 W(x) =
[ 1 x+a (x+a)^2 (x+a)^3 (x+a)^4 (x+a)^5 ]
[ 0 1 2(x+a) 3(x+a)^2 4(x+a)^3 5(x+a)^4 ]
[ 0 0 2 6(x+a) 12(x+a)^2 20(x+a)^3 ] ‧ 120 ‧ 120 ‧ 60 ‧ 20 ‧ 5.
[ 1 x+b (x+b)^2 (x+b)^3 (x+b)^4 (x+b)^5 ]
[ 0 1 2(x+b) 3(x+b)^2 4(x+b)^3 5(x+b)^4 ]
[ 1 x+c (x+c)^2 (x+c)^3 (x+c)^4 (x+c)^5 ]
其中第一列为 (x+a)^5 的 5~0 阶导数, 以下各列依次类推.
後头的常数分别由各行提出.
由 Abel's identity 可知 W(x) 为常数 W,
因 W(x) = W(x_0) exp(-∫_{x=x_0}^x p(x) dx),
其中 p(x) 为 y^{(5)}(x) 之系数 = 0.
若能证明这六个解独立, 就能得知 W 不为零. (其实就相当於上头第一个方法.)
也可以从归纳法顺带得出其行列式值:
考虑 W(-a) = W, 对应矩阵的前三列会只留下对角线的 1, 1, 2;
後续三列可提出共同因式, 再经过列运算後可调整为可归纳的形式.
其实 W(-a) 的矩阵也可透过行运算获得.
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3F：推 Vulpix : 原来有这麽好用的插值XD 02/17 00:40
※ 编辑: arthurduh1 (111.254.216.247), 02/18/2019 17:10:28