整个问题的核心 就在於 1-0.99999...的直观上 举个例子： 1/9=0.111111..... 1/9-0.11111...... 会不会有人说无限小 所以等於0 不会吧 因为直观上不会说出这样的说法 但是呢 1-0.99999... 就会有人说出 无限小 所以等於0 因为直观上好像就差了一点 但那一点就是无限小 但是严谨或正式的数学绝对不是这样 0.1111.... 跟0.99999... 都牵扯到一个定义 极限 不管用级数和或是数列 就是极限 那回到极限的定义 lim an=L iff give ε>0 ∣lim an -L∣<ε for some n 所以说 当你在写出0.1111.... 或0.999...时 就要清楚的了解到 要嘛这个东西要嘛是实数 要嘛就不是实数 而是不是实数 就是极限是否存在 这也是为什麽 有人说0.999...不一定是实数 我觉得很好笑与鬼扯 就是希尔伯特提过的 一个问题一定有是或否的答案 0.999...不可能同时是实数又不是实数 (当然要扯不同topology space就没意义) 所以 会说0.999...不一定是实数 观念就很差 把0.999..当成是一个不能处理的东西 举个例子 在非 hausdroff space空间下 一个数列可能同时收敛到2个点 也就是说 一个数列在合法的定义下有2个极限 所以说 我们处理无限 是用一个有限的定义方式去处理无限 而就0.999...与1的问题 不过就是一个障眼法而已 会把0.999...-1 说成无限小 在我个人认为 真的观念不够好 没有sense 会误人子弟 说成无限小 不就跟0.0000...000...1是一样的意思？ 真正的无限小 指的是 give ε>0 ∣an∣<ε 请注意 为什麽要用an数列 如果an是常数数列 那an就是0 如果an不是常数数列 那an也是无限小 这个定义真正的内涵是 "要多小 就有多小，比你给的任何数还小" 所以为什麽我说动态的 就是通常是个数列 那如果是0 那就直接说0就好 不需要脱着裤子放屁 说因为无限小 所以=0 0.9999...与1的在实数轴上的距离 就是0 不是什麽无限小 反证法即可轻松证明 那为什麽有些人会觉得无限小 就是把0.999.. 感觉那个9会一直多下去 感觉那个9会一直多下去 其实是一种级数和 Sn=9*sum 10^-i 的感觉 所以会觉得有 "愈来愈接近"的感觉 那就是一种错觉 因为0.9999... 是一个数字 =L 这个数字不会一直动 自然不会用无限小来描述它与1的距离 就像我们不会说0.5与0.5的距离是无限小 会直接说是0 为什麽说没有sense 就是0.999...基本上这个符号已经描述了极限的过程 所以0.999... 这是一个极限值 如果不用这种观念 那很多算术没法做 像0.000000000..... 与1.0000000.... 这两个如何在不用极限下情况下做减法? 举个例子在严谨的步骤下 5*0.333.... 如何演算？ 先证明0.3333... 的极限存在 有界+递增=L 再证明L=1/3 再计算5*L 所以说 会把1-0.999...讲成是无限小的人 观念就差很多 --

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