作者cat91 (支持猫咪统治世界)
看板Math
标题[中学] 证明若f(a)f(b) = f(a+b) 则f(x)为指数函数
时间Wed Jan 17 23:59:04 2018
在网路上看到一题:
若对於任何实数a,b皆有: f(a)f(b) = f(a+b) ，请证明: f(x)必为指数函数。
反过来想十分显然，但若是这样真能证明吗?
百思不得其解
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1F：推 angel07 : 证明非Q则非P亦同。 01/18 00:02
2F：推 arthurduh1 : 还可能是 0 函数 01/18 00:05
3F：→ arthurduh1 : 首先 f(0) = 0 或 1. 是 0 就是 0 函数. 01/18 00:06
4F：→ arthurduh1 : 是 1 的话有个暴力作法: 首先验证有理数 a 都满足 01/18 00:07
5F：→ arthurduh1 : f(a) = f(1)^a, 接着说明函数是连续的即可 01/18 00:07
6F：推 DLHZ : 常数函数也行吧 01/18 00:08
7F：→ DLHZ : 如果是指数函数那前面成立没错 但是有前面的叙述不 01/18 00:09
8F：→ DLHZ : 代表是指数函数 01/18 00:09
9F：→ arthurduh1 : 不过连续似乎不是很显然@@ 01/18 00:09
10F：→ DLHZ : 抱歉常数函数不行 茫了 01/18 00:09
11F：→ cat91 : 0^0不是undefined 吗 01/18 00:10
12F：→ keith291 : 命题是错的 少条件f(x)连续实函数且恒非0 01/18 00:11
13F：推 arthurduh1 : 没有 0^0 的问题啊 01/18 00:12
14F：→ arthurduh1 : 我感觉也是错的, 应该可以造出反例. 在无理数的部分 01/18 00:12
15F：→ cat91 : 啊 看错抱歉 01/18 00:13
16F：→ arthurduh1 : 可以定义出另一个指数的次方 01/18 00:13
17F：推 LPH66 : 应该不能到全部无理数 (有根号2这种例子在) 01/18 01:03
18F：→ LPH66 : 但是缩到超越数说不定可行? 01/18 01:03
19F：→ LPH66 : 咦我搞错了...无理数应该可以 01/18 01:04
20F：推 Vulpix : 连续性并不显然，那是因为真的可以不连续。所以f(x) 01/18 01:07
21F：→ Vulpix : 不见得是指数函数。这问题本质跟柯西方程一样，将实 01/18 01:10
22F：→ Vulpix : 数系视为有理数系的向量空间，选择一个适当基底，那 01/18 01:11
23F：→ Vulpix : f(x)可由f在基底上的值决定，而在哪个基底上选什麽 01/18 01:12
24F：→ Vulpix : 值是可以随便指定的。 01/18 01:12
25F：推 Lemur : f不连续就无法保证;f连续非0函数就保证f(x)=f(1)^x. 01/18 03:25
26F：推 jacky7987 : 要连续才可以，不是线性那个问题 01/18 19:07