作者Desperato (Farewell)
看板Math
标题Re: [分析] Gronwall ineq. |y'|<=|y|
时间Wed Oct 25 15:42:28 2017
※ 引述《cyt147 (大叔)》之铭言：
: 过去曾解过几个简单的微分不等式，但今天看到一道题目，感觉也是在解微分不等式，但
: 因为有绝对值，我实在不知该如何下手，请赐教，谢谢。
: Find a nontrivial solution y=f(x)≠0 satisfying the Gronwall inequality
: |y'|≦|y| with the initial value condition y(1)=0.
首先 这部分我不太熟 我也没找到答案
另外我不确定是不是对的 因为得到奇怪的结果...
Let y in C^1, i.e. y is continuously differentiable on (1, inf)
Assume y != 0
Now suppose y is continuous on x = 1
then y is continuous on [1, 3/2]
|y| is bounded by M and there is some x in (1, 3/2], |y(x)| = M
Now M = |int_1^x y' dx|
<= int_1^x |y'| dx
<= int_1^x |y| dx
<= (x-1) M < M which leads to a contradiction
Thus either y is not continuous on x = 1
or y is not C^1 on (1, inf) (only differentiable)
虽然是写 C^1, 实际上只是用在微分後可积分而已, 应该能够弱化很多
总之如果有答案 应该会有一定的丑度...
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嗯嗯ow o
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 140.112.25.105
※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1508917352.A.66B.html
1F：推 LiamIssac : 我找时间拍一下原本的证明 或许会有帮助 10/25 16:39
2F：→ Desperato : 如果有就太好了 感谢qw q 10/25 16:47
5F：→ LiamIssac : 以前修sde老师给的证明(给反了) Oksendal里面应该是 10/25 18:00
6F：→ LiamIssac : sketch proof 10/25 18:00
好吧我错了 根本看不懂...qw q
→
cyt147 : 没想到要走到这步...这是台大硕士班入学考题 10/25 21:22
7F：→ LiamIssac : 楼上走财经吗？ 10/25 21:56
8F：推 znmkhxrw : 我刚刚找了题目 确实没有错 这问的到答案吗?? 10/25 22:40
9F：→ znmkhxrw : 因为我证出y是零函数............ 10/25 22:41
10F：→ znmkhxrw : 而且前提只要：y在R连续 在非整数点可微 即可 10/25 22:41
11F：→ znmkhxrw : 微分後可积这条件也不用 因为D大作法可以用MVT带过 10/25 22:42
原来是这样 那不就是我的作法也得到0函数了
我在网路上看到Gronwall ineq.(如果写成积分版本) 不需要differentiable
其实可以改成 bounded variation...只要是nonnegative
(所以我才会想 会不会其实是很丑的函数)
12F：推 LiamIssac : 我笔记就有写y(t) = 0 for all t 10/26 06:54
13F：推 LiamIssac : 没记错的话Gronwal ineq是用来证明解的存在性 10/26 06:55
原来如此
※ 编辑: Desperato (140.112.25.105), 10/26/2017 13:31:38
14F：推 znmkhxrw : 我越来越好奇答案是什麽了... 10/26 14:21
我有弄出过 y在[1,x)上not monotone 以及[1,x)上not positive的结果
原本觉得答案该不会长的像xsin(1/x)这种鬼东西
可是弄出 y在[1,x)上not differentiable之後就不知道怎麽办了(摊手)
※ 编辑: Desperato (140.112.25.105), 10/26/2017 14:52:23
15F：推 znmkhxrw : 如果有答案 一定是那鬼东西 10/26 14:55
16F：→ znmkhxrw : 昨晚试了一下 只要y在任何finite interval中 10/26 14:56
17F：→ znmkhxrw : 不可微的点只有有限个 那只要y(some pt)=0 10/26 14:56
18F：→ znmkhxrw : 就会拓到全部 10/26 14:56
19F：→ znmkhxrw : 不过我搞不懂这题出题者要考啥@@ 10/26 14:56
https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Gronwall_lemma
我对Gronwall ineq的印象全部来自这里XD (以前不认识)
其实我在想 如果不需要 continuous 也不需要 |y'|<=|y| everywhere的话
那 given 1+1/n <= x < 1+1/(n-1), y(x) = 1/n 就能解决问题 可是这很蠢www
(而且积分起来并不符合Thm 2中 B=0, C=1 的条件)
※ 编辑: Desperato (140.112.25.105), 10/26/2017 15:09:26