※ 引述《alan23273850 ()》之铭言： : 各位版友大家好，我有一个有关微积分的问题想请教各位： : 问题大概是这样的，最近在复习数位讯号处理时遇到下面 : 两个等式，里面只有 n 是自变数，其他都是常数，而上下 : 两式确定随便代入任何一个 n 都会有一样的值，想请问 : 要怎麽反推在积分范围(-pi/T ~ pi/T)下两个画红色底线 : 的函数会完全相等呢？有什麽理论基础可以证明这件事吗？ : 因为是应用性的课本就直接写它们一样了，没有任何推导， : 所以才来版上发问，先谢谢愿意解惑的大大了！ : (不用很详细没关系，有 keyword 我也可以自行寻找材料) : https://i.imgur.com/xbMK2qU.png 从你的推文我联想到这个定理:stone-weierstrass theorem 但我不知道你对高微认识多少 因此下面当作听个故事 ------------------------------------------------ 首先你应该知道 b b ∫ f(x) = ∫ g(x) 根本不可能得到f=g，即便f与g都是连续 a a 但！如果 b b ∫ f(x)x^n = ∫ g(x)x^n for all n>=0 a a 那 恭喜你 只要f跟g是连续函数，就可以得到f=g everywhere 这是"Weierstrass approximation theorem"很典型的应用 这个定理说任何定义在[a,b]的连续函数f，必可以找到一群多项式P_n去均匀逼近 即S := {any finite linear combination of x^n:n>=0 ,x€[a,b]} 稠密於C[a,b] 稠密顾名思义就是任取某个f€C[a,b](定义在[a,b]的连续函数)，要多近就有一个够 近的linear combination of x^n 靠近f，而linear combination of x^n就是多项式 这个你大致知道的话，stone-weierstrass theorem更广了，刚刚你看到S是x^n的线性 组合，那是否有其他种类的函数收集起来也可以逼近C[a,b]呢？ 有！只要集合满足此定理"需要的条件"(见以下连结)，就可以 https://en.wikipedia.org/wiki/Stone%E2%80%93Weierstrass_theorem 而这个网页你搜寻一下"The theorem has many other applications to analysis, including:Fourier series:............."这边 {e^(2πin), n€Z}的线性组合稠密於C([0,1]/{0,1}) (这边[0,1]/{0,1}是[0,1]两端点看做一个点黏起来变成一个封闭圆) 而刚好你照片里的函数经由 x=(2π/T) y 就是在e^(2πin)在[-1/2,1/2]的积分 ----------------------------------------------------------------------- 概念大致上是这样 严格证明因为我没跑过就交给你了XD --

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