作者aromaQ626 (抠咪霉庇)
看板Math
标题Re: [中学] 高中圆锥曲线
时间Fri Jun 23 17:20:38 2017
先说明
以下只是"说明"找例子
并非证明
但是对於解答是非题
应该是足够的
※ 引述《Mistouko (Mistouko)》之铭言：
: 题目：
: 1、在抛物线上必可找到三点，形成一个直角三角形？
先取一个抛物线 y = ax^2
(其他抛物线就只是这的抛物线旋转平移而已)
并任意取两个点
http://imgur.com/tNZxhwj
若这两点是直角三角形的其中两顶点
则有两种可能
(1) 直角的顶点为这两点之一
(2) 直角的顶点是第三个点
分开讨论
(1) 直角的顶点为这两点之一
则 经过这两点 并 与过这两点的切线垂直之直线
与原抛物线之焦点即为第三个点
又因任意取的两个点可能平行或不平行 x 轴
若不平行
则所取的垂直线斜率为有限(非垂直线)
=> 垂直线必定与抛物线有焦点
=> 该焦点与原先两点构成一直角三角形
=> 题目一命题为真
到这里已经可以写第一题答案了，不过为了科学的完整，还是把(2)讨论完吧
(2) 直角的顶点是第三个点
则 原先任意取的两点为直角三角形斜边
即为该直角三角形外接圆直径
而外接圆与圆抛物线之焦点即为直角三角形的直角
为了让外接圆有机会可以与抛物线相交
取足够大的直径就有办法达成
=>这也可以说服人
可以在一抛物线上
找到三个点连线为一直角三角形
第二题也大概是相同想法
给你自己写
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1F：推 uhmeiouramu: 小学生烙国中生02/02 22:03
2F：→ strike5566: 国中生烙高中生 02/02 22:11
3F：推 ccchenny: 但高中生不会烙大学生02/02 22:11
4F：推 aromaQ626: 因为大学生都在打LOL 02/02 22:13
5F：推 Zeeslan: 要烙也只会烙赛 02/02 22:18
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6F：→ Sfly : 考虑以(-x,ax^2),(0,0),(x,ax^2)为顶点即可 06/23 17:57
7F：→ aromaQ626 : 如果可以直接找例子当然是最好啦 不过还是给个想法 06/23 20:15