※ 引述《wa007123456 (大笨羊)》之铭言： : 各位好 : 小弟最近才刚学到一些基本的积分技巧 : 还有变化最多的 "代换积分法" : 小弟很笨 只能处理类似 : ∫(4x+3)^9 dx 很明显的积分(把 u=4x+3) : 但是对於 : ∫1/√x(1+√x)^2 dx 就显得棘手 : 我想把 u 设成 u=1+√x 去当中间变数去做 : 可是後面往往会搞不清楚自己在做甚麽 : 例如 我会故意想写成 : du=(1/2√x)dx : 然後 又把上式变成不对的形式 : ∫(1/√x*u^2) dx ...... <=可以这样写吗? : 然後再把dx换成du .... : 结果就错了 : 因为我是自学 显得有点吃力 : 希望各位版友能提供意见学习 感谢>< 你的问题应该在於混淆了令中间变数之後的代换 事情是这样的 就拿你的 ∫(1/[√x(1+√x)^2]) dx 为例 当你令了一个中间变数之後 (例如 u = 1+√x) 操作方向一般来说有两个 一是上式直接微分, 变成 du = (1/2√x) dx 然後在被积函数里想办法凑出微分後的右半边 这里可以看到把分母的 √x 分开之後, 乘 2 除 2 可以得到我们要的东西: ∫(2/(1+√x)^2) (1/2√x)dx 凑出东西来之後那一团就代换成 du, 再把剩下的 x 换成 u 就能得到 ∫(2/u^2) du 另一个方向是将原变数以中间变数表示, 以上例就是 x = (u-1)^2 对这里做微分得到 dx = 2(u-1)du 把这个直接代进原积分式里化简 其他的 x 也一样换成 u 这样就变成 ∫(1/[(u-1)u^2]) 2(u-1)du 一样能化简成 ∫(2/u^2) du 两个方向的选择基本上以好做为主, 好凑就用前者, 不好凑还是能用後者来代 你所谓简单的状况只是微分的式子里面不含变数, 所以两种做法看起来一样 (u = 4x+3 => du = 4dx; x = (u-3)/4 => dx = du/4 不管用凑的用代的接下来的过程都差不多) 但当里面有变数时, 前者会留下原变数 (du = (1/2√x) dx 在 du 和 dx 之外是 x) 後者会留下中间变数 (dx = 2(u-1)du 在 du 和 dx 之外是 u) 形式不一样操作也就不一样, 然後你就把两种操作给混在一起了才会搞不懂 要记住的是变数变换的目标是把所有原变数换成中间变数 那要怎麽换就要看你所得到的关系式才来决定要怎麽换 -- 'You've sort of made up for it tonight,' said Harry. 'Getting the sword. Finishing the Horcrux. Saving my life.' 'That makes me sound a lot cooler then I was,' Ron mumbled. 'Stuff like that always sounds cooler then it really was,' said Harry. 'I've been trying to tell you that for years.' -- Harry Potter and the Deathly Hollows, P.308 --

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