※ 引述《dharma (达)》之铭言： : 网路上都没看到第四次数学危机这种东西 : 是不是因为前三次 : 已经把目前所有数学领域会用到的 : 完整建构出大家有共识、没有丝毫破绽漏洞的基础架构 : 所以後来就没再有新的数学危机了 : thank : 第一次数学危机 : 在无理数还没被发现之前，在勾股定理中出现腰长为1的等腰直角三角形的斜边长度 : 竟是无法写成有理数的数。 : 第二次数学危机 : 微积分引入无穷小量而产生的极值问题（飞矢不动的悖论）。 : 第三次数学危机 : 罗素悖论点出集合论的缺失。在类的理论中通过内涵公理得到解决。 第一次数学危机来自於无理数的「发现」。 当时数字的存在（的本体论意义）是指作为几何量而存在， 也就是说只要可以透过尺规作图做出长度为根号二的线段， 那麽根号二就存在。 那时的危机是因为人类可以做出根号二的线段（其实最早是根号五）， 却没有描述它的方式，这就像第一次看到鬼一样。 这次问题不大，只要发明鬼这个名词来称呼对方就可以了。 我个人认为这事件主要影响是让人类了解到数学并不纯然是人类任 意的发明，而是与外在世界有关的体系，甚至是解开世界之谜的钥 匙。因为这件事发生得太早，我们并不非常清楚危机发生之前的状 况，但有可能在危机发生之前，数学只是作为一种神秘的符号体系 而存在（於毕氏学派之中）。所以这次危机除了表面上显示出数学 体系的不足，也改变了数学在人类文明中的地位。 在第二次危机之前可以加上第1.5次危机，也就是虚数。 有趣的是这次危机是因为有人写下鬼，却没人见过这种鬼。 当时由於虚数可以帮助方程求解理论的建构，所以被一些数学家采用。 但直到高斯在复数平面上把虚数乘法解释为一种旋转， 虚数的本体论地位才初次获得建立，这仍是一种几何式的实现。 随着数学（特别是抽象代数）的发展，如今数学对象的本体论意义 已经不再要求必须建立在几何上了。（那什麽是数学式的存在呢？） 如今我们在高中学到复数平面时并不知道它的历史意义，只觉得就把 y轴改成虚轴而已，没什麽大不了的。 第二次危机是无穷小危机，这次是看到鬼了，而且还可以和他互动、 透过它完成一些任务，但是却不知道怎麽描述整个过程。 牛顿用了很长的一段话来定义无穷小，莱布尼兹的定义又太抽象， 直到达朗贝的论文才出现比较清楚的方向，之後柯西采取的方法是 「我不知道怎麽定义鬼，但是我知道"如何"请鬼帮忙做事」。事实上， 他利用epsilon-delta来定义「极限操作」，把牛顿的「a愈来愈接近b」 写成静态的「给定任意小的距离d，都有一个时刻使得a与b的距离比d 更小」，这麽一来就把动态的过程冻结在一个个固定的时刻来观察了。 整个过程要完成的话，最後还是要让d愈来愈小，但是这里的d是我们 给定的、可以控制的。所以柯西就成功地把一个动态的、不断逼近过 程分解成用d来控制的一连串静态画面。我忘记Weierstrass做什麽了， 总之这个epsilon-delta论证是柯西和Weierstrass一起完成的。（好 像是柯西写得比较不清楚，而且他自己其实都没照做，只是说这样做 就是严谨的了。） 从这里可以发现数学渐渐从研究数与形的性质演变成连理论本身都要 研究，产生了本体论上的自我指涉，研究数学的数学还是数学，就像 研究哲学的哲学还是哲学，但是研究科学的科学就不是科学了，是科 学哲学。 建立极限的理论非常重要，不只是解决微积分的基础问题，更解决了 芝诺第一悖论（阿基里斯追乌龟）这个千年难题。但是之後的连分数 、无穷级数、...等等一连串的妖魔鬼怪却不是短时间内可以收服的。 当时（十八世纪中叶之後一百年）应该是数学界最美好的年代吧，就 像大航海时代的地理大发现一样，到处充满惊奇和机会。工业革命之 後，人才都不好好念数学了，唉。仅存的清心寡慾好数学家也都饥寒 交迫。（我没有仔细统计，只是脑中闪过几个例子而已。） 总之，严格说起来第二次危机其实并没有完全结束，除了当时的傅立 叶理论，还有之後遇到的Dirac函数或像至今仍无法严格建立操作理 论的费曼积分都提醒我们这类危机其实还存在，而且不断继续发生。 第三次危机出现在十九世纪末，即众所周知的罗素悖论以及集合论里 的其他悖论。这些悖论可以分两类，一类是因为语言造成的，就像前 两次危机一样，或者找个好的定义就可以解决（无理数）、或者换个 方式分析就可以解决（取极限）。但另一类却是本质上新的危机，也 就是自我指涉的问题。当时这可是热门的大问题，但後来世界大战把 数学家带往更实用的数学领域，加上这问题其实可以规避（区分class 与set），所以数学家就不管它了。这有点像是不断追问人死後变成 鬼会怎样，後来大家必然是更专注在死前的生活。所谓把数学的基础 建立在集合论上，也就类似说人要从面对死亡来学习过生活一样，有 点宗教意味了。 差不多也是这时候其实出现了另一个危机，但它不被称为第四次危机 ，因为这次是「数学家」的危机，而不是「数学」的危机，那就是哥 德尔不完备定理。不过如上面说的，战争改变了一切，这些东西会渐 渐没落并不完全是它本身的困难无法突破，很大程度上也是社会因素 造成的。 回到最原先的问题，会不会有第四次危机？ 我们回到「鬼」这个比喻来看。除了有人看到鬼、无法形容鬼但可控 制鬼、了解到鬼的世界充满矛盾之外，会不会有新的鬼故事呢？ 我想应该是会有的吧。 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 161.64.208.44 ※ 文章网址: http://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1400700630.A.EB9.html 感谢斧正说明，我自己不做这些东西，所以所谓没落大概是门户之见 XD ※ 编辑: Babbage (161.64.208.121), 05/22/2014 16:04:46