作者JohnMash (Paul)
看板Math
标题Re: [中学]三角一题
时间Wed Aug 17 17:25:38 2011
※ 引述《stupidpin (绿茶无糖去冰)》之铭言：
: 已知x^5=32 的四个相异虚根为a,b,c,d
: 若f(x)=x^3 + x^2 +1
: 求f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=?
: 答案是-8
: 可是不知道该怎麽算
: 可以教我怎麽算吗?
: 谢谢大家!
x^5=32 and u=exp(2πi/5) and u^5=1
u^4+u^3+u^2+u+1=0
a,b,c,d = 2u,2u^2,2u^3,2u^4
P=8(u^3+u^6+u^9+u^12)=8(u^3+u+u^4+u^2)=-8
Q=4(u^2+u^4+u^6+u^8)=4(u^2+u^4+u+u^3)=-4
P+Q+4=-8
Actually, it is easy to prove that
u^n+u^{2n}+u^{3n}+u^{4n} = 4 for n=0 mod5
-1 for n≠0 mod5
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◆ From: 112.104.143.205
※ 编辑: JohnMash 来自: 112.104.141.22 (08/17 18:24)
1F：推 realtemper :推这个，简单 08/17 19:44