作者recipro (我被FIFA11绑架了)
看板Math
标题[中学] 2002ARML一问
时间Wed Aug 17 10:28:05 2011
(今天写题目时, 发现有一题没给答案,
所以请大家帮我检查一下作法有没有问题 ^^ 谢谢~)
题目:令m,n均为正整数, 且0<m<29, 若存在一些矩形可分割成n个全等正方形,
=
也可分割成m+n个全等正方形, 试问有多少个m, 可找到唯一的n满足上述
条件?
解: 不失一般性, 令矩形长宽分别为p,q, 可分割成m+n个边长为1的正方形,
得p*q=m+n.
令此矩形分割成n个正方形时, 正方形的边长为a,
则由条件可得 (p/a)*(q/a)=n.
由上两式得 m=(a^2 -1)*n
当a=2时, m=3n, 又对小於30的正整数m只有唯一的n与之对应,
所以n=1,2,3,5,7.
当a=3时, m=8n, n=1,2,3
当a=4时, m=15n, n=1
当a=5时, m=24n, n=1. 所以共有10个.
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