※ 引述《jason8002 (一个人一杯咖啡)》之铭言： : 我们说 : a~b表示a与b同类,简单来说要符合三项性质: : 1. (reflexivity).对所有a属於S,我们都有a~a. : 2.(symmetry).若a~b,则b~a. : 3.(transitivity).若a~b,则b~c,则a~c. : 若把这equivalence relation运用到group来看的话 : 问题来了 : 为何他说:如果a^-1*b属於H,则我们说a和b是同类(用封闭性很容易看得出来) : Q1:但为何不是a*b属於H去看,则我们说a和b是同类 在这里我们希望H是一个subgroup,也就是说H也要是一个group才行 如果你考虑a*b in H是同类的话 那第1个 a~a => a*a=a^2 in H 无法表现出群定义上的强度 2 a*b in H => a~b => b~a => b*a in H 不是每个群都可以交换 在这个定义下无法说明群里面的元素是等价关系 但如果是定义a^(-1)b in H 表示 a~b 的话 很容易可以检验出每个群里面的元素是等价关系 这是很有用以及很有价值的 : 跳到Lagrange's Theorem : 他又进一步解释,运用equivalence relation证明 : H 是一个 finite subgroup, 则和 a 同类的元素的个数和 H 的元素个数一样多. : 证明:若a和b同类,则表示a~b.故a^-1*b=h且h属於H.所以b=a*h属於a*H.反之,若b属於a*H, : 则表示在H中可找到一元素h使得b=a*h.故a^-1.b=h属於H.也就是说a和b同类. : 我的问号又来了 : 为何表示a~b.故a^-1*b=h且h属於H.所以b=a*h属於a*H : 为什麽不是(b=a*h属於H)怎麽是元素跟集合在运算? a*H是陪集(coset)的意思,不是元素跟集合运算 a*H:={a*h : h in H} (※陪集通常不是group,如果a不再H里面) 这里的a可能不在H里,所以a*h不见得会在H里 这里是想证明 |a*H|=|H| (两个集合元素个数相等) : 还有一个小插曲: : 读了一阵子代数 : 为何group的定义里没有交换律 : 而要提出来另外设为abelian group? 交换律其实是一个很强的条件 也许有人会觉得在定义里面如果加个交换律应该会显得很自然 但其实不然 举个例子:Sn (symmetric group of degree n>2) 是一个不可交换的群 如果你只是看这个群的定义、里面的元素 可能会觉得怎麽会想到要定义这种群?! 但其实这个群的定义是很自然而然的 例如有三个人A,B,C,我想要给他们编号1,2,3 我有6种(3!)不一样的选择,每一种选择其实就对应着S3里面的一个元素 很自然吧~ 然後你把运算想像是今天先做完一次分配编号~明天再做一次 但是却不可交换~ 而且不可交换的群很多,也容易举例(课本都会有例子) 如果把abelian作为自然的定义,不可交换就显得是"特例" 但你又可以轻易地举出不可交换的例子~这样不是很奇怪吗:) 以上是本人的拙见 如有错误请帮忙指证 谢谢^^ --

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