1 1 ∫ lnx dx is defined by lim ∫ lnx dx , for 0 < a < 1 0 a→0+ a 其值是-1 而我们知道 如果 f(x) 在 [a,b] 可积 , 积分结果是 A 则任取partition P , 当││P││ → 0 时 , f在其interval的值任取一点 得到的 R(f,P) 皆是 A 所以方便计算时 我们可以取 P={x_0 < x_1 < ... < x_(i-1) < x_i < .. < x_n} where x_0 = a , x_n = b , x_i - x_(i-1) = (b-a)/n 且取的函数值是右端点或是左边点 算出的结果均是 A 现在我们把f(x)当成ln(x) , [a,b] 当作 [a,1] 因为lnx在[a,1]可积 取上述partition P , 且取右端点 我们有 1 ∫ lnx dx a 1 n 1-a = lim ─── Σ ln(a + ── k ) n→∞ n k=1 n 而因为 1 lim ∫ lnx dx 存在 a→0+ a 所以 1 n 1-a =lim lim ─── Σ ln(a + ── k ) 存在 且等於 -1 a→0+ n→∞ n k=1 n 问题来了 为何可以把 lim 先摆进去 也就是我们常见的 a→0+ 1 n k = lim ─── Σ ln( ──) 存在 且等於 -1 n→∞ n k=1 n -------------------------------------------------- 我目前想法是： 先简化一下符号 1 Let f(x) = ∫ lnt dt x then f(x) is continuous on [0,1] by defining f(0) = lim f(x) x→0+ 1 n 1-x and let f_n(x) = ─── Σ ln(x + ── k ) €C[0,1] n k=1 n then f_n(x) is convergent to f(x) pointwisely on (0,1] ----(*) 我们想证的是(*)中 在{0}是否成立 i.e. Is f_n(0) convergent to f(0) = -1 用均匀收敛去想似乎没啥相关 而且也有反例 Let f(x) = 0 €C[0,1] f_n(x) = (1-x)^n €C[0,1] f_n(x) is convergent to f(x) = 0 pointwisely on (0,1] But f_n(0) 却是收敛到 1 --

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