作者keroro321 (日夕)
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标题Re: [微积] 微积分基本定理
时间Sat Jul 30 23:02:02 2011
※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之铭言：
:"" if F 可微 (但F'不连续) but F'在[a,b]可积 (Riemann integrable)
: x
: then S F'(x) dx 是否一定可微??? ""
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可以在"你的假设"得到一个肯定的回答
x
∫ F'(x) dx = F(x) - F(a)
a
但这似乎无法只在微积分的课程得到证明. ---->我这句话是错的
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原问题的留言有提供简单证明的网页,用以下定理是大材小用.
http://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_calculus
Proof of the second part (Fundamental theorem of calculus)
只需用MVT 跟 limit 就可以简单证明罗
谢谢网友 wickeday
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以下只要介绍一个定理,马上就能得到你要的答案. (这前後几个定理,都是维积
分基本定理更深入探讨)
W.Rudin : Complex and Real Analysis (3th Edition) , Page 149, Thm 7.21
可以简单得到一个结论
if
(i) f is differentiable on [a,b] .
(ii) |f'(x)| is bounded on [a,b].
x
then f(x)-f(a)=L∫ f'(t)dt 这边L代表 Lebesgue 积分
a
在你的例子上
Because f'(x) is Riemann integrable on [a,b] (compact)
so
|f'(x)| is bounded
x x
hence f(x)-f(a)=L∫ f'(t)dt = R∫ f'(t)dt
a a
这边L代表 Lebesgue 积分 , R 代表 Riemann 积分
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 61.216.151.190
※ 编辑: keroro321 来自: 61.216.151.190 (07/30 23:24)
1F：推 znmkhxrw :谢谢~ 07/30 23:42
2F：推 sato186 :GOOD! 07/31 00:00
※ 编辑: keroro321 来自: 61.216.151.190 (07/31 01:06)
※ 编辑: keroro321 来自: 61.216.151.190 (07/31 01:07)
3F：推 znmkhxrw :我发觉我查的时候是中文版 他条件有conti. XD 07/31 01:53
4F：→ keroro321 :呵呵 07/31 02:10