作者ntust661 (XDeutesh)
看板Math
标题Re: [微积] Cauchy-Euler ODE
时间Thu Jul 28 00:14:28 2011
※ 引述《doublewhi (赵哥)》之铭言：
: 这题我想了很久还是不知道算错在哪
: 2
: 题目: / d^2 d \
: | ----- + ----- | y =0 由於那括弧太恶心了接下来简称他( )
: \ dr^2 rdr /
: 不知这样大家看不看的懂orz
: 我的想法是: 既然变系数ODE微分运算子不能直接乘开
不是叫做乘开XD
因为那个 2 不是代表次方
而展开必须要满足乘法微分
2 2
d d d d
(── + ── ) (── + ──) y = 0
dr^2 r dr dr^2 r dr
2
d d 1
(── + ── ) [ y'' + ── y' ] = 0
dr^2 r dr r
2
d 1 d 1
= ── [y'' + ── y' ] + ── [ y'' + ── y' ] = 0
dr^2 r r dr r
2 2 1 1 1 1
= y'''' + ── y' - ── y'' + ── y''' + ── y''' + ── y'' - ── y'
r^3 r^2 r r r^2 r^3
2 1 1
= y'''' + ── y''' - ── y'' + ── y' = 0
r r^2 r^3
4
同乘 r
4 3 2
= r y'''' + 2r y''' - r y'' + r y' = 0
m
令 y = r ,
m
= (m(m-1)(m-2)(m-3) + 2m(m-1)(m-2) - m(m-1) + m ) r = 0
3 2 2 2
= m [ m - 3m + 2m - 3m + 9m - 6 + 2m - 6m + 4 - m + 1 + 1 ] = 0
3 2
= m ( m - 4m + 4m ) = 0
2 2
= m (m - 2) = 0
2 2
y = c1 + c2ln│r│ + c3 r + c4 r ln│r│
: 那我令
: Y(r) = ( )y , 解( )Y=0 , 解出Y=c1 + c2*lnr
: 再解 ( )y = c1+c2*lnr , 解出y= c3 + c4*lnr + c1'(lnr)^2 + c2'(lnr)^3
: 不知哪一步骤错了 :( 拜托各位了
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◆ From: 218.161.124.122
1F：→ doublewhi :谢谢 :D 07/28 00:37
2F：→ doublewhi :其实我说乘开是因为常系数展开=乘开啦 :p 07/28 00:50