作者alasa15 (alasa)
看板Math
标题Re: [中学] 证明
时间Wed Jul 27 13:38:46 2011
※ 引述《Griffey168 (能发呆就是福！)》之铭言：
: 证明：当m>3 时
: 2^m≧m^2
: 谢谢！
一. 若m为整数,用数学归纳法
1.当m=4时, 2^4 ≧ 4^2, 成立
2.假设m=k>4时,2^k ≧ k^2 成立
3.当m=k+1时, (k+1)^2 = k^2 + 2k +1 ≦ 2^k + 2k + 1 < 2^k + 2^k = 2^(k+1)
(*)
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(*) 当 k≧4时, 2k+1 < 2^k
a. 当 k=4, 2*4+1=9 < 2^4=16 ,成立
b. 假设 k=i>4, 2i+1 < 2^i 成立
c. 当k=i+1, 2(i+1)+1 = (2i+1) +2 < 2^i + 2 < 2^i + 2^i = 2^(i+1)
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二.若m为实数, 满足 2^m ≧ m^2 的区间应该是 4≦m＜+∞
设f(m) = 2^m - m^2
f(4)= 2^4 - 4^2 = 16 - 16 =0
f'(m) = ln2 * 2^m - 2m
f''(m) = (lm2)^2 * 2^m - 2
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显然f''(m)递增 且 f''(4) ≒ 5.687 > 0
=>f''(m) > 0 => f'(m) 递增
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又f'(4) ≒ 3.09 >0
=> f'(m) > 0 => f(m)递增
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f(m)递增且f(4)=0
=>f(m) ≧ 0 , m≧4
=>2^m - m^2 ≧ 0 , m≧4
即 2^m ≧ m^2 , m≧4
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