※ 引述《steve1012 (steve)》之铭言： : 因为小的高中的时候 : 斜的圆锥曲线的单元已经被删掉了 : 可是实在蛮有兴趣的 : 不知道哪里有学习的资源 : 网路上的资料都蛮零碎的... ※ 引述《steve1012 (steve)》之铭言： : 因为小的高中的时候 : 斜的圆锥曲线的单元已经被删掉了 : 可是实在蛮有兴趣的 : 不知道哪里有学习的资源 : 网路上的资料都蛮零碎的... 化简二元二次方程式: ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0 (b不等於0) δ= b^2 - 4ac 可透过先转轴消去xy项，再平移轴化成标准式 但对於有心锥线(有对称中心的圆锥曲线，如椭圆、双曲线)，则先移轴到对称中心 再转轴消去xy项会比较简单 化简原则: 设g(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0 (b不等於0) 1. 先检查δ= b^2 - 4ac 不等於 0 (1)先移轴至新原点O'(h,k)，消去两个一次项系数，g(x, y)化简成 Γ: ax'^2 + bx'y' + cy'^2 = -f (移轴後二次项系数不变) _ | 2ah+bk+d=0 其中新原点坐标O'(h,k)满足 |_ bh+2ck+e=0 ，解出(h, k)，得到f=g(h, k) (2)再转轴一个锐角θ，其中 cot2θ=(a-c)/b，消去x'y'项 变成Γ: a'x"^2 + c'y"^2 = -f (转轴後常数项不变)，即可将Γ化成标准式。 2. 先检查δ= b^2 - 4ac 等於 0 (1)先转轴一个锐角θ，其中 cot2θ=(a-c)/b，消去xy项 g(x, y)化简成Γ: ax'^2 + cy'^2 + d'x' + e'y' = -f (转轴後常数项不变) 此时Γ中a'、c'必有一个为0 (见注1) 若c'=0，Γ会变成 Γ':ax'^2 + d'x' + e'y' = -f (2) 当e'不等於 0时，可将Γ'加以配方，再移轴可得Γ为抛物线 当e'等於 0时，则Γ可能为两条平行线或两条重合直线或没有图形 从以上讨论，可以得到化简一般二次曲线的方法与原则，根据这些原则，我们可以去判 定Γ的形状，不过在化简过程中，除非到最後，否则无法判别出Γ的形状 然而在坐标变换的过程中发现有些「系数所形成的代数式」是保持不变，利用这些「系 数所形成的代数式」我们就可以根据原方程式的系数来判断出Γ的形状。 1. 不变量：二次曲线Γ: ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0 中经过「移轴」 、「转轴」的变换後，其系数所形成的代数式： |2a b d| (1) H=a+c； (2)δ= b^2 - 4ac； (3)b^2 + (a-c)^2； (4)△=1/2 |b 2c e| |d e 2f| 的值都不会改变 _ | x = x'+ h [证明] <移轴> 设移轴至新原点O'(h,k)，移轴公式 |_ y = y'+ k 代入Γ的原方程式後得到Γ: a'x'^2 + b'x'y' + c'y'^2 + d'x' + e'y' + f' = 0 所以对於H、δ、b^2 + (a-c)^2 而言，经过移轴显然是不变量 |2a' b' d'| | 2a b 2ah+bk+d | △=1/2 |b' 2c' e'| = 1/2 | b 2c bh+2ck+e | |d' e' 2f'| |2ah+bk+d bh+2ck+e 2(ah^2+bhk+ck^2+dh+ek+f)| | 2a b d | |2a b d| =1/2 | b 2c e | = 1/2 |b 2c e| |2ah+bk+d bh+2ck+e dh+ek+f| |d e 2f| _ | x = x"cosθ - y"sinθ <转轴> 设转轴一个锐角θ，转轴公式 |_ y = x"sinθ + y"cosθ 代入Γ的原方程式後得到Γ:a"x"^2 + b"x"y" + c"y"^2 + d"x" + e"y" + f" = 0 2 2 其中 a" = acos θ+bcosθsinθ+csin θ 2 2 b" = -2asinθcosθ+b(cos θ-sin θ)+2csinθcosθ = bcos2θ-(a-c)sin2θ 2 2 c" = asin θ-bcosθsinθ+ccos θ d" = dcosθ+esinθ e" = -dsinθ+ecosθ f"=f 2 2 2 2 H不变量 => a"+c" = (acos θ+bcosθsinθ+csin θ)+(asin θ-bcosθsinθ+ccos θ) 2 2 2 2 = a(cos θ+sin θ)+c(cos θ+sin θ) = a+c b^2 + (a-c)^2不变量 => b"^2 + (a"-c")^2 = [bcos2θ-(a-c)sin2θ]^2 + [bcos2θ+(a-c)sin2θ]^2 2 2 2 2 = b^2(cos 2θ+sin 2θ)+(a-c)^2(cos 2θ+sin 2θ) = b^2 + (a-c)^2 δ= b^2 - 4ac不变量 => b"^2 - 4a"c" = b"^2+(a"-c")^2-(a"+c")^2 = b^2 + (a-c)^2-(a+c)^2 = b^2 - 4ac (注1) 当转轴角θ满足cot2θ=(a-c)/b (0 < θ/2 < π/2) 且 b"^2 + (a"-c")^2 = b^2 + (a-c)^2 => b"=0 _______________ => a"-c" = √[b^2 + (a-c)^2] = (a-c)cos2θ + bsin2θ a-c 2 = bsin2θ[(a-c)cot2θ/b + 1] = bsin2θ[(-----) + 1] b 因为sin2θ>0，所以a"-c"与b的正负号相同 2. 利用不变量来化简二元二次方程式： 设g(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0 (b不等於0) (1) δ= b^2 - 4ac不等於0时，先移轴再转轴 _ | 2ah+bk+d=0 先平移到新原点O'(h,k)消去x，y项系数，其中(h,k)满足 |_ bh+2ck+e=0 => Γ: a'x'^2 +b'x'y'+ c'y'^2 = -f' 其中 a'=a, b'=b, c'=c, f'=g(h,k) 再转轴锐角θ，消去x'y'项，其中cot2θ=(a-c)/b => Γ:a"x"^2+c"y"^2+f" = 0 因为 b"^2 + (a"-c")^2 = b^2 + (a-c)^2，且b"=0 a-c 2 所以a"-c"= bsin2θ[(-----) + 1] ，可解出a"、c"、f"=f'=g(h,k) b (2) δ= b^2 - 4ac等於0时，先转轴再移轴 先转轴锐角θ，消去xy项，其中cot2θ=(a-c)/b => Γ: ax'^2 + cy'^2 + d'x' + e'y' = -f' 因为b'^2 -4a'c' = b^2 - 4ac = 0 => a'=0 or c'=0，不妨设c'=0 => Γ: ax'^2 + d'x' + e'y' = -f'，其中d'=dcosθ+esinθ, e'=-dsinθ+ecosθ, f'=f 再移轴至O'(h,k)，其中(h,k)的找法可利用配方法。 --

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