作者venson0502 (dd)
看板Math
标题Re: [微积] Heine定理
时间Mon Jul 18 18:12:43 2011
※ 引述《CKIIIIII (CK)》之铭言：
: 高等微积分的heine定理
: 假设<X,dx> <Y,dy>为两metric space ,K为X之compact subset,f为X映至Y的函数,
: 且f在K连续,则f在K将是均匀连续
Notation:
e:epsilon
d:delta
两边metric都用[x,y]表示
B(x,d)表示x的距离d内neighborhood
1. f在K连续 所以对於所有e K上每点x 有对应d(x) <因x不同>
使所有K上y 只要[x,y]<d(x)则[f(x),f(y)]<e/2
2. 对於K上每一点x考虑 B(x,d(x)/2)
所有的Ball形成K的open covering
K又compact 所以有finite subcovering 记成B1,...,Bn
Bi表B(xi,di/2)
注意(a)现在K中任一点y只要和xi距di(Bi半径的两倍)
即达成[f(y),f(xi)]<e/2
(b)K中任一点在B1,....,Bn<K的covering>至少其中之一内
3. 因此考虑K中任一点x
x在某一个Ball内,say B1,也就是B(x1,d1/2),所以[x,x1]<d1/2
也因此[f(x),f(x1)]<e/2
取d*=min{d1/2,...dn/2}
则任一点y和x距d*内,我们有
[y,x1] < [y,x] + [x,x1] < d1/2 + d1/2 = d1
故[f(y),f(x1)]<e/2
因此[f(x),f(y)] < [f(x),f(x1)] + [f(x1),f(y)] < e/2 + e/2 = e
4. 3.当中的到的结论说:
所有e 可以取d* K中任两点 只要
[x,y] < d* 则 [f(x),f(y)] < e
所以f在K均匀连续#
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◆ From: 218.167.227.225
1F：推 CKIIIIII :谢谢你 我明白为什麽要取d/2的原因了 非常感谢 07/19 10:35