作者wohtp (PT)
看板Math
标题Re: [线代] 证明题
时间Fri Jul 15 01:28:45 2011
: ※ 引述《wakke (合理化勒索)》之铭言：
: : Let A be an n*n matrix over R such that A^5=I .Here, as usual,
: : I denotes the identity matrix.
: : Show that if the trace tr(A)=0 , then Av=v holds,
: : for some non-zero vector v
直接拉到 C 上面做：
因为 A^5 = I， A 的特徵值必须是 exp(i 2n pi/5 )。
因为 A 是实数矩阵，复数特徵值必须成对出现。
假设有 p 对 {exp(i 2pi/5), exp(i 8 pi/5)}
q 对 {exp(i 4pi/5), exp(i 6 pi/5)}
m 个 1
tr A = 0
--> 2 p cos(2pi/5) + 2 q cos(4 pi/5) + m = 0
刚好 cos(2pi/5) + cos(4pi/5) = -1/2
因为两个 cos 个别都是无理数，除非 p = q，
不然前面两项不可能凑出一个有理数跟 m 抵销。
所以得到 p = q = m。 A 至少有一个特徵值是 1。
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◆ From: 67.255.21.42