作者Frank000 (Frank000)
看板Math
标题Re: [中学] 三角函数极值问题
时间Thu Jul 14 12:07:44 2011
※ 引述《lilygarfield (爱你的冲动...)》之铭言：
: Θ属 (0,pi/2)
: 求 (sinΘ)^3 (cosΘ)^3
: ----------- + ------------ 之最小值？
: cosΘ sinΘ
: 看到这个很高兴就觉得『两包都为正』
: 於是就算几不等式下去
: 得到答案为２
: 为什麽这样错？
给另外一个解法
简化符号
theta=x
s=sinx,c=cosx,S=sin2x,C=cos2x
二倍角公式
C=1-2s^2=2c^2-1
S=2sc
原式
s^3/c+c^3/s
=(s^4+c^4)/sc
=2(s^4+c^4)/2sc
=2{[(1-C)/2]^2+[(1+C)/2]^2}/S
=(1-2C+C^2+1+2C+C^2)/2S
=(2-S^2)/S
0<2x<pi
所以
0<S<=1
随S在这个范围内递增最後那个式子明显递减
所以当S=1也就是2x=pi/2, x=pi/4时有最小值1
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