作者pentiumevo (神秘数学组织SIGMA)
看板Math
标题[分析] 「存在不可数集」的证明
时间Sat Jul 9 21:43:43 2011
范围是点集拓朴
首先列出我看的书上的定理（基本跟Munkres没多大差别）
定理1.7.3 集合X可数 若且唯若 存在从正整数集Z+到X的onto映射
定理1.7.6 设X是一个集合，Y＝{0,1}，记Y^X是X到Y的所有映射的集合
则存在从X到Y^X的1-1映射（injective），但不存在从X到Y^X的的一一映射
（bijection）
-------------------------------------问题开始--------------------------------
书本上说
推论1.7.7 存在不可数集
证明：在定理1.7.6中，令X为正整数集Z+，Y={0,1}，则由定理1.7.6知{0,1}^Z+是不
可数集。 □
我想不通怎麽由定理1.7.6知道这结果
目前我已知道
（1） 存在从Z+到{0,1}^Z+的1-1映射
（2） 不存在从Z+到{0,1}^Z+的一一映射
但我没办法推出不存在从Z+到{0,1}^Z+的onto映射，也就不能用定理1.7.3证明{0,1}^Z+
这玩意儿是不可数。
请各位帮帮忙，谢谢。
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 125.233.5.242
1F：→ wickeday :diagonal argument 07/09 21:49
不，我不要用对角论证法，我想直接用定理，麻烦了
※ 编辑: pentiumevo 来自: 125.233.5.242 (07/09 21:54)
2F：推 jacky7987 :没有Z+ 到{0,1}^{Z+}的bijective函数 07/09 22:35
3F：→ jacky7987 :可数的定义是从存在bijective function 从N-->X 07/09 22:36
j大不好意思，可以请您再讲清楚些吗？我看不大懂...
※ 编辑: pentiumevo 来自: 125.233.5.242 (07/09 22:38)
4F：→ jacky7987 :Definition X is said to be countable if there 07/09 23:08
5F：→ jacky7987 :exists a bijective function f:N--->X 07/09 23:08
刚刚在洗澡时，我想出来了。
我用的这本书对於可数的定义是：
若集合X与正整数集Z+间有1-1映射存在，则称X是可数的
这定义比较广，因为这样连有限集也算是可数的
此时易证以下事实：
当X是无限集，X是可数的若且唯若X与Z+间存在一一映射
回来原来问的问题
现在要证明{0,1}^{Z+}是不可数，我们要先确认这集合是无限集
因{0,1}^{Z+}＝{f|f:Z+ → {0,1}}
从中可以取得一个函数序列{f_n}
f_n的取法是：
0 x!=n
f_n (x) =
1 x=n
那麽{f_n}是无限集。而再由定理1.7.3知{0,1}^{Z+}与Z+间不存在一一映射，那麽
{0,1}^{Z+}就是不可数的。
※ 编辑: pentiumevo 来自: 125.233.5.242 (07/09 23:20)
6F：推 jacky7987 :By thm 1.7.6 there is no bijective function 07/09 23:11
7F：→ jacky7987 :from N to {0,1}^N, hence {0,1}^N is uncountable 07/09 23:12
8F：推 jacky7987 :N就是Z+阿XD 07/10 00:02
9F：→ jacky7987 :这样想没错:) 07/10 00:03
10F：推 Lindemann :这不就还是对角线法的精神吗?XD 07/10 01:40