作者pan1231 (开心过日子)
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标题Re: [中学] 100松山工农教师甄选
时间Thu Jun 30 02:21:39 2011
: 2. h 为直角三角形斜边上之高，h 为定值，a、b、c，s = (a+b+c)/2，
: 求 s之最小值，及此时的两股和斜边长？
将图形座标化
设 x^2 + y^2 = h^2 且此圆在第一象限有一点(p,q)
过(s,t)之切线L为 px + qy = h^2
L分别交X轴、Y轴於A(h^2/p,0),B(0,h^2/q)
原点O(0,0)
三角形OAB周长 = 2s = h^2/p + h^2/q + [(h^2/p)^2+(h^2/q)^2]^(1/2)
= h^2 *( 1/p + 1/q + [(1/p)^2+(1/q)^2]^(1/2) )
(1) p^2 + q^2 = h^2
=> (h^2)/2 = (p^2 + q^2)/2 ≧ (p^2 + q^2)^(1/2) = pq
=> 1/pq ≧ 2/(h^2) 等式成立时 p = q
(2) (1/p + 1/q)/2 ≧ (1/pq)^(1/2) ≧ √2/h
=> (1/p + 1/q) ≧ 2√2/h 等式成立时 p = q
(3) [(1/p)^2+(1/q)^2]/2 ≧ 1/pq ≧ 2/(h^2)
=> [(1/p)^2+(1/q)^2] ≧ 4/(h^2)
=> [(1/p)^2+(1/q)^2]^(1/2) ≧ 2/h 等式成立时 p = q
由(2)(3)得
2s ≧ h^2 *[ 2√2/h + 2/h ] = h *(2√2 + 2 )
=> s ≧ h *(2√2 + 2 )
等式成立时 p = q ，此时三角形OAB为等腰直角三角形
两股长为 h√2 ，斜边长为 2h
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