作者alasa15 (alasa)
看板Math
标题Re: [微积] 如何证明二次微分开口的凹性
时间Wed Jun 29 13:13:00 2011
※ 引述《sbnj231t (先骗过自己)》之铭言：
: 函数二次微分>0开口向上
: <0开口向下
: 高中生都知道的常识
: 然而暑假想自己研究为什麽却发现课本没写= =
: 小弟现在用的课本是james stewart 写的
: 有谁可以给小弟一个完整的证明吗
: 实在是感激不尽
令p+q=1,p>0,q>0
开口向上的定义: f(px+qy) < pf(x)+qf(y)
(函数值都在任曲两点得到的割线的下方)
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泰勒公式的二阶余项
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+[f''(c)/2!](x-a)^2
>f(a)+f'(a)(x-a)
(函数值都在切线的上方)
(参考而已 等等不会用到)
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f(px+qy)-pf(x)-qf(y)=(p+q)f(px+qy)-pf(x)-qf(y)
=p[f(px+qy)-f(x)]+q[f(px+qy)-f(y)]
=p[(px+qy-x)f'(w1)]+q[(y-px-qy)f'(w2)]
=p{[x(p-1)+qy]f'(w1)}+q{[y(1-q)-px]f'(w2)}
=p[q(y-x)f'(w1)]-q[p(y-x)f'(w2)}
=[pq(y-x)][f'(w1)-f'(w2)]
=pq(y-x)*f''(η)(w1-w2) < 0
=>f(px+qy)<pf(x)+qf(y)
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