作者obelisk0114 (追风筝的孩子)
看板Math
标题Re: [微积] 一题积分
时间Fri Jun 17 00:21:54 2011
※ 引述《JohnMash (Paul)》之铭言：
: ※ 引述《penny93730 (思考)》之铭言：
: : ∞ sin x
: : ∫ ------- dx
: : 0 x
: : 以上，感谢:)
: Let me give another approach
: 2i∫[0,∞] sin x /x dx
: = ∫[-∞,∞] (cos x + i sin x -1)/x dx
: = ∫[-∞,∞] (e^{ix}-1)/x dx
: = -lim_{R→∞}∫[0,π] (-1)/(R e^{iθ}) R i e^{iθ} dθ
: = πi
好读版
∞ sin x 1 ∞ sin x
sin(x)/x is even function,so∫ ------- = ---∫ -------
0 x 2 -∞ x
∞ sin x ∞ 1
∫ ------- = Im[∮ --- * e^(i*z)dz]
-∞ x -∞ z
1
Let --- * e^(i*z) = f(z)e^iz
z
The pole of f(z)e^iz is 0
∮f(z)e^iz = π*i*Res[f(z),0] = π*i
c
∞ sin x 1 π
∫ ------- = --- Im[π*i] = ---
0 x 2 2
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※ 编辑: obelisk0114 来自: 140.112.245.27 (06/17 00:22)
1F：推 n19860423 :好方法~不过原PO没学过复数积分阿~XD 06/17 00:32
※ 编辑: obelisk0114 来自: 140.112.245.27 (06/17 02:33)