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看板Math
标题Re: [代数] 不等式问题
时间Fri Jun 10 18:59:23 2011
※ 引述《SmallLuLu (小噜噜)》之铭言：
: x0,x1,...,xn为任意正实数，n >= 2
: 证明
: x1 x2 xn 1
: ------------- + ----------------- + ... +------------------------- < -----
: 2(x0^2+x1^2) 3(x0^2+x1^2+x2^2) (n+1)(x0^2+x1^2+..+xn^2) x0
: 毫无头绪= =
若 x 皆为正实数, 则以下成立:
i
2 2 2 2
( 1 + 1 + ... + 1 )( x + x + ... + x ) ≧ ( x + x + ... + x )
0 1 n 0 1 n
↑
柯西不等式
claim: 对任意正整数n(n≧1)，恒有
x x x 1
1 2 n
------------ + ----------------- + ... + ----------------------- ＜ ---
2 2 2
( x + x ) ( x + x + x ) ( x + x + ... + x ) x
0 1 0 1 2 0 1 n 0
其中 x 和 x 皆为任意正数。
0 i
我们对n做数学归纳法
当n=1时，此命题成立。则当n=k时，
x x x
1 2 k
------------ + ----------------- + ... + -----------------------
2 2 2
( x + x ) ( x + x + x ) ( x + x + ... + x )
0 1 0 1 2 0 1 k
x 1 1
1
＜ ------------ + --------- ＜ -----
2
↑ ( x + x ) x + x x
│ 0 1 0 1 0
│
归纳法假设
结束~~
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