作者tibicos (tibicos)
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标题Re: [线代] eigenvalue eigenvector & projection …
时间Sun Jun 5 07:45:02 2011
※ 引述《superconan (超级柯南)》之铭言：
: What are the eigenvalues and eigenvectors of a projection ? A reflection ?
: 目前我知道投影矩阵 P = A(A^TA)^(-1)A^T 且 P^2 = P
: Let t is an eigenvalue of P and v is an eigenvector of P, then Pv = tv. — (1)
: Pv = P^2v = P(Pv) = P(tv) = t(Pv) = t(tv) = t^2v. — (2)
: By (1), (2) => t^2 = t => t^2 - t = 0 => t(t-1) = 0 => t = 0, 1
: 其他的就不知道怎麽求了
: 麻烦高手解惑，谢谢～
从直观来看（假设P=A(A^TA)^(-1)A^T，且A是full-column rank)
Projection matrix P会把跟空间上的向量投影到A的column
space C(A), 两种向量经过投影後方向不变：
(1) 本来就在C(A)中，v=Ay, 则Pv=v，eigenvalue=1, eigenvector是C(A)中
的任一向量，可用C(A)的任一组basis代表。或者就是P-I的null-space。
(2) 跟C(A)正交的所有向量，投影後为零向量，故eigenvalue=0，eigenvector
是A^T之null-space N(A^T)中的任一向量，即P之null-space中的任一向量。
Reflection matrix应也可由以上观点推得，只是eigenvalue变为1与-1，
以上谨供参考，若有错请更正，谢谢。
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◆ From: 111.252.208.237
1F：推 superconan :请问full-column rank是什麽意思＠＠？ 06/05 20:42
2F：→ superconan :P会把跟空间上的向量投影到C(A)→这句话看不懂＠＠ 06/05 20:44
3F：→ superconan :(1)(2)点完全看不懂，有比较浅显易懂的解释方法吗TT 06/05 20:50