作者yhliu (老怪物)
看板Math
标题Re: [机统] Order Statistics
时间Sun Jun 5 01:07:07 2011
※ 引述《Justin258 (Justin)》之铭言：
: 题目出自 Saeed Ghahramani的机率课本 (闪电本) ch9.2 Exercise 7
: Let X1 and X2 be two independent exponential random variables each with
: parameter λ. Show that X(1) and X(2) - X(1) are independent.
: 老师上课跳过了ch9.1的 Joint Distributions of n>2 Random Variables
: 也没有上 ch8.4的 Transformations of Two Random Variables
: 解答的写法用到了 Jacobian of the transformation ..
: 我应该自己将相关的章节阅读完毕会是比较理想的作法吗？
: 还是说有其他更基本的观念或解法可以直接去证明
: X(1) and X(2) - X(1) are independent ?
: 谢谢帮忙！
Xi 的 p.d.f.: f(x), 0<x<∞.
X(1) 与 X(2) 的联合 p.d.f.: 2f(u)f(v), 0<u<v<∞.
X(1) 的 marginal p.d.f.: 2f(u)(1-F(u)), 0<u<∞.
F 为 Xi 之 c.d.f..
Given X(1)=u, X(2) 的条件 p.d.f. f(v)/(1-F(u)), u<v<∞
P[X(2)-X(1)≦z|X(1)=u]
= P[X(2)≦z+u|X(1)=u]
u+z
= ∫ f(v)/(1-F(u)) dv
u
= (F(u+z)-F(u))/(1-F(u))
= (e^{-λu}-e^{-λ(u+z)})/e^{-λu}
= 1-e^{-λz}, 0<z<∞
因 P[X(2)-X(1)≦z|X(1)=u] 与 u 无关, u in (0,∞),
all z in (0,∞), 故 X(2)-X(1) 与 X(1) 独立.
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1F：推 Justin258 :感谢y大帮忙解答！ 06/05 23:32