作者yhliu (老怪物)
看板Math
标题Re: [中学] 空间直线
时间Thu Jun 2 17:46:25 2011
※ 引述《crazystan (米汉堡)》之铭言：
: 设空间中两直线L1:x/2 = (y+1)/3 = z+3
: L2:(x+1)/4 = (y-4)/-2 = z+2/-1
: 若直线L过P(1,2,-1)且与L1,L2交於A,B两点
: 求线段AB长?
: 想不出来 麻烦版上大大了
: 谢谢
设 L 之方程式为 (x-1)/a = (y-2)/b = (z+1)/c.
L 与 L1 所在共同平面之法向量可由两直线之方向向量交
叉积. 计算结果:
u = (b-3c)i + (2c-a)j + (3a-2b)k
故此平面方程式为
(b-3c)(x-1)+(2c-a)(y-2)+(3a-2b)(z+1) = 0
将 L1 上之点 (2s,-1+3s,-3+s) 代入, 得
0s = 3a-3b+3c
故 a-b+c = 0.
同理, 根据 L 与 L2 相交, 得 2a+3b+2c = 0.
故得: a+c=0=b.
所以 L 之参数式为:
x = 1 + t
y = 2
z = -1-t
而 L1 之参数式:
x = 2u
y = -1+3u
z = -3+u
交点: u=1, t=1, A:(2,2,-2).
L2 之参数式:
x = -1+4v
y = 4-2v
z = -2-v
交点: v=1, t=2, B:(3,2,-3).
故线段 AB 之长为 √2.
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