※ 引述《RainIced (我好想念快速的宿网)》之铭言： : 这一题请问该如何证明？谢谢。 : 证明方程式 x^4 x^3 x^2 没有实根。 : ------ - ------- + -------- -x + 1 =0 : 24 6 2 : --------- : 本来想用微分证明，证明最小值为正， : f(x) = x^4 /24 - x^3 /6 + x^2 / 2 -x +1 : f'(x) = x^3 /6 - x^2 /2 + x -1 : if f'(x) =0 : <=> x^3 - 3x^2 + 6x - 6 = 0 : 解不出有理根....... 没关系，还是可以继续 f"(x) = x^2 /2 - x +1 = 1/2 * (x-1)^2 +1/2 f" 恒正，所以 f' 严格递增自负无限大至正无限大 => f' 有唯一实根 c 又知道 f'(2) = 1/3, f'(1) = -1/3 所以 1 < c < 2 另外，x = c 时 f 有最小值 理由：只有这里可能发生极值，而且 f"(c) > 0，所以是极小 因为 0 = f'(c) = c^3 /6 - c^2 / 2 +c -1 所以 f(c) = c^4 /24 - c^3 /6 + c^2 / 2 -c +1 = c^4 /24 - (c^3 /6 - c^2 / 2 +c -1) = c^4 /24 > 1/24 故 f(x) > 1/24 那就不可能是 0 了 --

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