作者THEJOY (最後的演武)
看板Math
标题Re: [分析] x^(-1/2)在[0,1]是可积的吗?
时间Wed May 25 23:30:48 2011
※ 引述《bineapple (パイナップル)》之铭言：
: 如题 我们定义被积的函数在0点值为0
: 如果用Riemann integration原本的定义
: 应该是不可积的 因为x^(-1/2)在0的neighborhood是unbounded
: 所以任何partition的upper sum都会是infinity
: 可是如果从反倒数来算 先算x^(-1/2)在[1/n,1]的积分值 也就是2-2 √(1/n)
: 然後让n跑到无穷大 又能得出一个"2"的值
: 想请问这中间有什麽矛盾的地方吗?
: 而lesbegue integration的情况又如何呢?
: 我想应该是可以积而且积出来是2吧 用Levi's theorem就可以嘞
: 想请问有没有哪里错误的吗? 谢谢!
推文中有提到，在积分范围包含瑕点时请考虑瑕积分，
瑕积分：
1 1
∫x^(-1/2) dx = lim ∫x^(-1/2) dx
0 b->0 b
|x=1
= lim 2x^(1/2)|
b->0 |x=b
= lim 2-b^(1/2)
b->0
= 2
勒贝格积分：
We may construct a sequence of increasing measurable functions
that converges to x^(-1/2).
And then apply Lebesgue Monotone Convergence Theorm to get the answer.
Consider f_n(x) = x^(-1/2)χ_(1/n,1)(x), where χ is chareacteristic function.
Then f_n converge to f a.e. and 0≦f_1≦f_2...≦f a.e.
Apply LMCT,
1 1 LMCT 1
∫ x^(-1/2) dx =∫ f(x) dx ＝ lim ∫ f_n(x)
0 0 n->∞ 0
1
= lim ∫x^(-1/2)χ_(1/n,1)(x) dx
n->∞ 0
1
= lim ∫ x^(-1/2) dx
n->∞ 1/n
|x=1
= lim 2x^(1/2)|
n->∞ |x=1/n
= lim 2-(1/n)^(1/2)
n->∞
= 2
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