※ 引述《lyndon918 (灵顿918)》之铭言： : 跪求版上大神 : 如何证明勒让德多项式的完整性? : 查了几本原文书(boyce、 cullen、 kreyszig等) : 发现都没有这个证明(正交性证明很常见，不知为何没有证明完整性) : 很想知道如何证明@@ : 或者有大大知道应该查哪本书里会有 : 感激不尽! : 附上完整性的定义: : 考虑区间[a,b]上的一组正交特徵函数{P_n(x)}，对一在区间中性质不比间断连续差的函数 : b N 2 : f(x)，使得 lim S [f(x)- sigma(c_n P_n(x))]=0 恒成立，则称此正交特徵函数在 : N->OO a n=1 : [a,b]上具有完整性。 b : S f P_n(x) dx : a : 其中c_n= ----------------- : b 2 : S P_n(x) dx : -- a :

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) 基本上这个完整的证明需要用到Weierstrass Approximation Theorem(任何定义在有界闭 区间上的函数都可以被多项式一致逼近)。任何片段连续的函数，跟连续函数的差异只有 一点点，所以你可以用连续函数逼近片段连续的函数。所以是做两个逼近。 假如你的f是原给定的函数，给一个正数ε，取一个连续函数g使得 b ∫ |f(x)-g(x)|^2 dx <ε^2/4 a 再利用多项式的稠密性可知，可以找到一个多项式p使得 max |g(x)-p(x)|< ε/2 x in [a,b] 所以你可以先证明这个定理对多项式对，接着证明此定理对连续函数对，最後再利用平方 积分的最小平方的性质(least square)证明对一般的函数对。 这证明应该在Hilbert and Courant的Method of Mathematical Physics有。 基本上其他直交函数的完备性证明都是类似於这种方法，而函数的逼近是利用 更广义的Stone-Weierstrass定理证明。 还有另外一种可以利用分析学上的一个技巧"Approximation of Identity"。 这也可以。 --

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