※ 引述《TassTW (为文载道尊於势)》之铭言： : ※ 引述《herstein (翔爸)》之铭言： : : 这一点有点不太对，很多时候把半群塞到群这样的想法是非常有用的。是把交换的半群塞 : : 到阿贝尔群的构造就叫做葛罗森狄克构造(Grothendieck construction)。拓朴K理论或代 : : 数K理论的基础就是来自於这样的构造方法。举例来说，考虑影射模(projective module) : : 的范畴，把同构的影射模视为等价。定义[P]+[Q]=[P⊕Q]。这种运算在同构的影射模里是 : : 构成加法半群的，用葛罗森狄克构造之後就得到所谓的K_0群。 : 讨教一下, 我所学过的 Grothendieck group K(C), : 都是建构自考虑整个 module category C, : 讲整个好像不精确, 应该说不会特别区分 projective 与否, : 总之手段是操作这个 group level structure : 目的也是告诉我们 module category 的讯息, : 比方说在某些条件下 isomorphism as grothendieck groups : 可以得到 inverse equivalence as categories : 不会再回到 C 的 projective modules 了 : 特别看 projective modules 除掉和 K(C) 相同的 relation 这个 semigroup : 的目的是什麽呢? 基本上Grothendieck Construction对任何的交换半群都可以，所以不限於 影射模。我只是把当初代数K理论的源头给大家讲讲，一开始就是考虑影射模， 发现影射模的加法具有半群的结构，到後来Atiyah, Hirzebruch等人利用 类似的概念发展了拓朴K理论，概念是相当类似的。 如果考虑X是一个紧致的拓墣空间，并且定义Vect(X)是在X上所有同构的 向量丛所生成的集合，定义[E]+[F]=[E⊕F]，那麽Vect(X)构成一个加法半群。 他的葛罗森狄克群就称之为K^0(X)。影射模跟向量丛有很有趣的对应关系。 如果E->X是定义在X上的一个向量丛，记Γ(E)为E上所有的截面所形成的向量 空间，那麽Γ(E)就是交换环C(X)的影射模。所以算子代数学家就把影射模看 成是向量丛。 projective modules <=> vector bundles 在算子代数里面也是有使用这个概念来定义算子代数的不变量的，也称为 算子代数的K_0群。这里的K_0是AF代数的不变量，AF代数简单来说就是由 矩阵代数的极限所定义出来的非交换C*代数。这里的K_0群是由算子代数学 家Elliot所引进的。想法跟构造方法类似於葛罗森狄克的构造。 谈影射模的范畴是有其历史意义，其几何意义就是空间上的向量丛。 这些概念都很深刻的影响了近代几何学的发展，而Alain Connes的 非交换微分几何也是以此为基础做出发的。 当然你可以在其他范畴定义葛罗森狄克建构，我们总是希望我们做的 东西有意义，而不是单纯的搞定义生定理。总是"心里面存在着某些 问题想解决"，所以才会产生这些数学的定义。 --

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