※ 引述《TassTW (为文载道尊於势)》之铭言： : ※ 引述《clawer (爪爪)》之铭言： : : 最近看了两本环论的书 : : 作者分别是T.Y.Lam跟P.M. Cohn : : 他们的环定义上都是有1的 : : 但是比较早期一点 : : 像是Herstein跟McCoy的书则没有这样做 : : 学校老师上课也是选择从没有1的环出发 : : 我心理的问题是 : : 为什麽现在看到的书中 : : 非常谢谢! 有没有1就单看你的用途。 : 1. : 在你理论面读得很起劲的时候, 千万不要忘记实例. : 人类发明环论是为了处理手上活生生的问题, : 而不是突发奇想盖一个空中楼阁, 发明一个理论来讨论"不知道是什麽的环" : 从 formal definition 出发了解环, 我认为是倒果为因 : 是因为数学家在解决问题的同时, 体会到了该结构共有的潜在特性, : 尝试把他写下来才有了 formal definition : 2. : Unital ring 的重要实例如下: : 1829 Gaussian Integers Z[i] : 1843 Hamilton quaternion : 1855 Matrix ring : 1870 Polynomial ring : -------------------- : 1914 Fraenkel 给了 ring 的定义 : 这几十年的发展中, ring 都是自然要有 1 的, : (注意到即使他们都有 1, 交换与否对於那些环的结构差异甚大) : 3. : Non-unital ring (或有人称 rng: ring without identity....) : 这部份的历史我没有那麽熟, : 就我所知他有用的地方就是 functional analysis, 大概 1930 以後才开始发展 : 所以虽然都在同一个大纛 (ring) 底下, : 发展理论的目的差距很大. : 虽然 rng 都可以 embed 到 ring 中, : 但是我很怀疑这能有什麽用 (有专家可以说明吗?) : 另外, 许多 ring 上的定义(如你所说的 Jacobson radical), 在 rng 上的定义 : 略有不同, 仔细一看可以知道他们大多是要排除一些特例, 没什麽了不起的 : 4. : 打个比方, : 我们知道 group without 1 叫做 semigroup 半群的结构是一个具有运算结合律的集合，没有办法定义逆，当然没有1就没有办法定义 逆，只是通常我不太会说半群是不含1的群，这样有点怪XD，因为他本来就不是群。有时 候我们可以允许半群有单位元，只是不一定有逆。具有单位元的半群又叫做monoid。 : 我们不会去争辩 semigroup 才应该叫做 group : 也不会去想说 "把 semigroup 塞到 group " 来 "处理" semigroup 这一点有点不太对，很多时候把半群塞到群这样的想法是非常有用的。是把交换的半群塞 到阿贝尔群的构造就叫做葛罗森狄克构造(Grothendieck construction)。拓朴K理论或代 数K理论的基础就是来自於这样的构造方法。举例来说，考虑影射模(projective module) 的范畴，把同构的影射模视为等价。定义[P]+[Q]=[P⊕Q]。这种运算在同构的影射模里是 构成加法半群的，用葛罗森狄克构造之後就得到所谓的K_0群。 : 回归基本面, : 如果你要从 rng 开始学, : 我想最重要的就是知道 rng 的重要例子 (撇除很白痴的 2Z ... etc) : 然後知道把 1 拿掉, 在泛函分析上对你有什麽好处 也不是说把1拿掉在泛函分析是会有甚麽好处，而是在处理连续函数所形成的环C(X)时， 具不具有1就成了一个自然的现象。当X是局部紧致而非紧致(locally compact but noncompact)的时候，在无穷远处为零的连续函数所形成的环自然是一个交换且没有1的C* 代数(C* algebra)。(这个形成的过程并不是来自於刻意的把1给拿掉。)当然没有1并不是 甚麽太大的问题。 古典拓朴学中，我们可以把局部紧致但非紧致的空间给单点紧致化(one point compactif -ication)，也就是把无穷远点给加进去。换句话说，把局部紧致化空间给紧致化之後， X^=X∪{∞}成为紧致空间。把C_0(X)视为C(X^)的一个向量子空间，同时也是一个极大的 闭*主理想(*closed maximal ideal)。常数函数并不存在於C_0(X)里，而C(X^)有。这样 的考量是非常自然的。 附注: (1)C_0(X)就视为C_0(X)={f:X^-> C: f(∞)=0} (2)C(X^)的最大主理想(closed * maximal ideal)都是形如{f:X-> C: f(x_0)=0}。这个 又称为Gelfand-Naimark对应。在加上Zariski的工作，身为泛函分析学家的葛罗森狄克在 代数几何学上有着重要的突破与影响。这就有待於板上的代数几何学家为我们解说。 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 128.120.178.219 因为半群理论根热方程是有极大的关联，所以当然是在解PDE中 (线性抛物方程)扮演着重要的角色。 ※ 编辑: herstein 来自: 169.237.31.142 (05/24 06:53) correct~~~其他像Stone-Cech compactification也是有其分析上的用途。在此我 特别指的是单点紧致化。例如考虑C_b(X)有界连续函数所形成的环，他对应的就是 Stone-Cech compactification。 所以当我的连续函数的环是指定C_0(X)时，其 紧致化指的便是单点紧致化(One Point Compactifiction)，从环的角度来看， 其对应的紧致化是很清楚的。并不会误导。 环 紧致化(Gelfand Spectrum) C_b(X) <-> βX (Stone-Cech) C_0(X) <-> X^ (One Point Compactification) 当你的空间是局部紧致非紧致，C_0(X)是不包含於1。你考虑的环如果是C_b(X)， 那麽此环就包含1。对应的Gelfand谱是不同的。尽管有不同的紧致化，但在处理 不同的环时，我们还是知道何时候会用到哪一种紧致化(当然不同的紧致化，是 用来处理不同的问题)。 当然为了让读者更清楚，我还是加上单点紧致化，以免产生误解。 ※ 编辑: herstein 来自: 128.120.178.219 (05/25 12:12)