作者mk426375 (时雨)
看板Math
标题Re: [微积] 可微分性的充分条件
时间Mon May 23 14:58:04 2011
※ 引述《andy2007 (...)》之铭言：
: 标题: [微积] 可微分性的充分条件
: 时间: Sun May 22 23:16:07 2011
:
(吃光光)
: → andy2007 :不好意思再问个问题：定义所说的 fx and fy are 05/23 14:00
: → andy2007 :continuous in an open region R 的意思是 05/23 14:01
: → andy2007 :fx和fy要在开区间中连续，这里的意思是二阶偏微分要 05/23 14:01
: → andy2007 :存在，fxy(x,y) = fyx(x,y) 是吗？ 05/23 14:04
无关，但是在某点二阶偏微皆可交换可保证f在该点连续
: → andy2007 :或是说只要fx、fy极限值等於fx、fy函数值就可以了？ 05/23 14:06
: → andy2007 :找到答案了，fx、fy在开区间中的任意(a,b)点 05/23 14:18
: → andy2007 :极限值等於函数值，就是fx、fy连续了 05/23 14:18
yes.
: → andy2007 :感觉好像又有错误，极限存在不一定连续，但是可微分 05/23 14:36
: → andy2007 :就一定连续，所以应该是fxy(x,y) = fyx(x,y)才对 05/23 14:37
: 推 mk426375 :极限值等於该点函数值就是连续了 05/23 14:46
回到定义
f为一个多变数函数
如果对於任意的ε>0, 存在有δ>0使得
对所有在0<||x-a||<δ,皆有|f(x)-L|<ε
则我们说f在a点的极限存在且为L，记成
lim f(x) = L.
x->a
如果这个L刚好又等於f在a点的取值f(a)，
则我们说f在a点连续。
在某一点"可微分则必连续"
这个定理对於单变数或多变数函数皆成立
但是，偏微分不是多变数函数的微分
--
这边Salas的课本有提到两个定理：
Let f: D(包含於|R^n) → |R be a function and a属於D
Thm 1.
If all second order partial derivatives of f are continuous
at a, then fx_ix_j(a)=fx_jx_i(a) for all i,j = 1,...,n.
Thm 2.
If all second order partial derivatives of f exist at a
with fx_ix_j(a)=fx_jx_i(a) for all i,j = 1,...,n, then
f is continuous at a.
--
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◆ From: 140.114.201.140
※ 编辑: mk426375 来自: 140.114.201.140 (05/23 15:04)
※ 编辑: mk426375 来自: 140.114.201.140 (05/23 15:15)
※ 编辑: mk426375 来自: 140.114.201.140 (05/23 15:22)
1F：推 andy2007 :谢谢前辈，偏微分不是多变数函数的微分 05/23 17:32
2F：→ andy2007 :所以fx和fy在区间上的任何一点(a,b)，只要满足 05/23 17:33
3F：→ andy2007 :在(a,b)点 fx和fy的极限值 = 在(a,b)点的函数值 05/23 17:35
4F：→ andy2007 :就一定连续吗？我搞不清楚为什麽不需要考虑 05/23 17:41
5F：→ andy2007 :「极限存在不一定连续」，还是说只要极限值和函数值 05/23 17:42
6F：→ andy2007 :相等，那就是连续了。 05/23 17:43
连续的定义就是这样啊
会说极限值存在不一定连续的原因就只是
那个极限值L不见得会等於该点的函数值
(可能函数在该点无定义或是跳到L之外的其他点)
可以回去看看我们最一开始是如何定义单变数函数的极限与连续
7F：→ andy2007 :偏微分不是多变数函数的微分，那是什麽类型的微分？ 05/23 17:56
粗浅的说只是对某一个变数(沿着平行某一座标轴的方向)作微分
後面会讲到多变数的微分是Gradient
其实也就是对每一个变数个别偏微分之後所形成的向量
8F：→ andy2007 :喔喔，我搞糊涂了，极限值等於函数值便为连续。 05/23 17:58
9F：→ andy2007 :极限值存在，但是如果不等於函数值，那就不连续了。 05/23 17:59
10F：→ andy2007 :例如xy(x^2-y^2)/(x^2+y^2) if (x,y)≠(0,0) 05/23 18:03
11F：→ andy2007 : 0 if (x,y)＝(0,0) 05/23 18:03
12F：→ andy2007 :fx(x,y)在(0,0)函数值=0 fx(x,y)在(0,0)极限值=0/0 05/23 18:06
0/0 无定义
13F：→ andy2007 :在(0,0)的函数值不等於在(0,0)的极限值，所以fx在 05/23 18:07
14F：→ andy2007 :(0,0)这点不连续，这样子想可以吗？ 05/23 18:07
理论上没错
15F：→ andy2007 :更正 : fx(x,y)在(0,0)极限值不可以直接代入(0,0) 05/23 20:14
16F：→ andy2007 :还没想到如何检验fx(x,y)在(0,0)极限值不等於函数值 05/23 20:22
17F：→ andy2007 :但是如果使用fxy(0,0)≠fyx(0,0)则会快速很多~ 05/23 20:23
我不知道有没有这样的定理可以检验@@...
※ 编辑: mk426375 来自: 140.114.201.140 (05/23 21:14)
18F：推 andy2007 :谢谢前辈，我是在寻找fx(x,y)在(0,0)极限值 05/23 21:22
19F：→ andy2007 :但是用曲线y=mx逼近也没办法得出个结果Orz 05/23 21:22