这是以前资工上机率统计课时，教授说这题解出来就直接pass的题目。 以下是解题过程 定义问题：长度为1的绳子任意切两刀，最长段绳子的期望值。 绳子可视为连续点构成的线段，切出的绳长可以为零。 分析：先简化问题，变成切一刀的情形 最长可能为1，最短可能为1/2，分布机率是均等的。 故切一刀的期望值是(最长+最短)/2 = 3/4 如果切在长度为L的绳子，最长段的期望值是(3/4)L 把原来的问题转换成「任意切一刀之後再切第二刀」的情形讨论。 令第一刀所切位置为x，产生两段长度分别为x和1-x的绳子。 令第二刀所切位置介於x和1之间，也就是1-x的绳子上。 这部份是为了讨论方便，第二刀落在0和x之间的情况，会对应到第一刀落在1-x位置的情 形。 所以这样的假定可以考虑到全部的情形。 另外，切第一刀後，位置0到x这段绳子称为X段。 而第二刀切下所产生的两段绳子中最长段的长度为y，称为Y段。 以下分成三种情况： 1. x介於0和1/3： 这种情况，Y段的最小值为(1/2)*(1-x) Y？X → (1/2)*(1-x)？x → 1-x？2x → 1？3x → 1＞3x，必定大於X段。 是故，这种情况可以只看Y段的期望值，所以是(3/4)*(1-x)。 2. x介於1/2和1： 这种情况，Y段的最大值为1*(1-x) Y？X → 1-x？x → 1？2x → 1＜2x，必定小於X段。 是故，这种情况可以只看X段，所以是x。 3. x介於1/3和1/2： 这种情况，Y段和X段，要讨论更细微。 若Y段要大於X段，则必须 (□为Y段占(1-x)多少比例，□正常范围介於1/2和1之间) Y＞X → □(1-x)＞x → □＞x/(1-x) 所以只要□大於x/(1-x)最长段就是Y段，反之则是X段。 令p=x/(1-x) 因为□是均匀分布在1/2和1之间，所以□＞p的机率就是(1-p)/(1-1/2) ＝ 2(1-p) □＜p的机率就是2p-1。（□＝p的机率趋近为0，可以忽略端点，只看累积的量） 采计Y段的话就要看期望值，Y段的范围介於x到1-x之间 因为机率分布平均，所以期望值是1/2。 所以合并起来，采计Y段的机率是2(1-p)，对应到的值是1/2 采计X段的机率是2p-1，对应到的值是x 写成等式为2(1-p)*(1/2)+(2p-1)*x经过有点繁杂的化简之後得到-3x+1/(1-x) 因为有点复杂，还是附上示意图(http://ppt.cc/T-29)做参照之用。 我最後是把这三种情况用积分累加起来 From 0 to 1/3, ∫(3/4)*(1-x)dx = 5/24 From 1/3 to 1/2, ∫-3x+1/(1-x)dx = ln 4/3 - 5/24 From 1/2 to 1, ∫x dx = 3/8 总和是 ln 4/3+3/8 ≒ 0.662682072 跟我用程式的随机数字去测的结果是相近的 一开始用直觉猜是2/3（最长1，最短1/3的中间值） 可是因为机率分布不确定是否为平均分布。 再加上後来求解去比对，发现还是有些微差异。 原本是想如果机率分布是均匀的话，可以一路往下推变成切n刀的通解。 不过算到这里就知道没希望了，还是免不了要分开讨论的情形… 跟这问题奋斗的时间很长，最近又卯起来把它算了出来，连ln都出现了 我想应该也不算简单的题目，不知道有没有人要挑战切三刀的… --

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