【我的数学梦】寻找狐狸的足迹 「有些事现在不做，以後也不会做了！」这是一个法律系学生热血前进数学的故事，在 他眼中，法律与数学并没有那麽的不同。 http://case.ntu.edu.tw/blog/?p=8683 撰文∣戴佳原 　　国一时我一直不明白为什麽x+2=3会得到x=1，而不是x=x这个不言自明的答案。更不 明白为什麽当我这样回答，考试总是零分。我的疑惑，那时没有人能解答。直到有一次家 政老师看我在算数学，她和许多人一样，也不懂为什麽我不会那麽简单的问题，但不一样 的是，她很大方地嘲笑我，而我哭了，但命运很奇妙，我从此就会了。 　　後来，我读了些数学哲学，知道人类从数觉（如一只羊）到数（如抽象的1），从结 绳到符号，必须经历几万年的演化。才知道当时在我的生命中也经历了演化，虽然只有几 个月，但已让我如此强烈地意识到数学的存在。 　　高中，不知是否因为经历某种佛洛依德式的不满足，我变得擅长操弄符号，加上一点 耐心，成为了解题能手。某次高二数学课，老师透过矩阵求解一般线性方程组，我看着黑 板上的x，y和z，突然想起国中懵懂的自己，再想起现在却能处理那麽多未知数，不禁激 动难以自已。 　　人生许多选择，探寻到最後，蓦然回首，都是这些回忆碎片。 　　我曾申请台大数学系，但感谢神，我落榜了。原本父母希望我去念森林系，因为他们 认为我是个太「条直」的孩子，比较适合去跟树在一起。不过最後我透过指考进入了台大 法律系。不知为何，我对数学念念不忘，於是大二时申请了双主修数学系，因此我常自嘲 为「法数系」学生。有些法律系同学认为法律跟数学很不「搭」，甚至认为既然都读法律 ，就不再需要数学或科学。然而，我认为人类事务极其复杂多元，法学在知识面上不可避 免地要与哲学、政治学、经济学、社会学，甚至自然科学「先冲突後整合」，才能妥善处 理各种纷争。这种体认不但是我选择法律系的初衷，也促使我思考如何在近代学科专业分 化的趋势中，提醒自己保持宽阔开放的学术心胸。为此，当时年轻狂妄的我，琅琅上口「 法律数学本一家」，理所当然引起不少质疑。 　　为了证明自己是对的，我研读一些「学术史」方面的书籍，了解数学（或数学哲学） 在启蒙时代後引起方法论的风潮，例如Bentham相信功利主义，想建立「快乐的微积分」 来分析如何极大化社会福利；美国宪法具有数学公理化演绎逻辑的风格；在自然法与纯粹 法学的概念中也可看到数学的影子。直到现在，「非线性」、「蝴蝶吸子」、「混沌」和 「拓朴」等数学术语也纳入刑法学、哲学和历史学关於因果关系的讨论。当然，以上例子 无法充分厘清「法律数学本一家」中「本一家」一语所具备的歧义性，而学科术语跨界混 用也值得省思，但一路走来，我始终相信，积极开放心胸会让学术生命将更为丰富。 并不孤独 　　读过历史上许多数学家的学思经历之後，我发现兼具法律与数学训练的人其实不少！ 例如笛卡儿（René Descartes）是法学博士，是律师；费马（Pierre de Fermat）也是 律师；莱布尼兹（Gottfried Leibniz）大学主修法学；惠更斯（Christiaan Huygens） 大学主修法律与数学；魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）承父命在大学主修法律与财政 ，但为了数学，据说他宁可酗酒，向他父亲抗议。他们出入於法律与数学之间，让我知道 自己并不孤独。 　　但到底是什麽吸引我的这些「法数系」学长们如此热爱数学，甚至奉献一生？从真善 美的角度，我认为，数学「公理化演绎逻辑」的方法论能产生其他学科无法拥有的「确定 性」。为此，数学思考近似接触真理，数学证明则等同发现真理。另外，数学总散发着一 种简洁纯粹的美感，例如我最喜欢的Euler公式： eiπ + 1 = 0，一个简单等式结合了加 法、乘法和指数律等常见运算，以及Euler数e、虚数i、圆周率 、乘法单位元素1和加法 单位元素0等宇宙中最重要的几个常数。 　　然而，数学很美，数学也很难，抽象的符号系统是数学「冷峻」的一面，也是不少人 「害怕」数学的源由。不过，只要回想几世纪前的数学家们以艺术看待数学，并认为数学 能发现预测宇宙规律，荣耀创造万物的上帝，或许「冷峻」就只是真理之门前的大理石雕 像，要人们心怀敬虔而谦逊。至於善，数学在所不问，所以数学「可能无益，但绝对无害 」。拿着纸笔，让心灵依循着直觉前进，透过逻辑一步步整理足迹，直至真理之门，多麽 自由与和平！ 　　双主修数学系後，我得以比较中学数学与高等数学的异同。解题是数学的核心，中学 数学着重计算，题意、条件与答案明确，只要看清一两个「眉角」加上些许耐心即可驾轻 就熟。高等数学则着重证明，透过各种数学结构的细腻分析来「一网打尽」相关问题。例 如为了处理极值问题，中学数学发展出算几不等式及柯西不等式，但只能处理一小类问题 。微分学的极值检定法，则几乎能处理各种极值问题。不过事实上，不论在中学或大学， 类推比较、以简御繁及分类化约一直是我们处理数学问题的基本思维，只是高等数学需要 更细腻的观察、更神妙的巧思以及更繁复的运算。以类推比较为例，Fourier级数中的 Parseval等式是中学毕式定理的类推，然而，类推的过程绝对是数学家们充满挫折的奋斗 史。 　　为什麽高等数学需要更多奋斗？原因在於「面对无穷」并「驯服无穷」是高等数学永 恒的任务。以积分学为例，为了计算曲形面绩（如椭圆面积），由於线形。面积（如矩形 面积）计算容易，透过以简御繁的思维，我们会用数个线形面积的总和去「逼近」曲形面 积，再论证当线形越来越多，则所有线形面积的总和会「等於」曲形面积，而非逼近。以 上论证的关键处是「无穷过程」，亦即「从有穷到无穷的飞跃」如何成立！数学史告诉我 们，从古希腊时代就有「无穷的恐惧」，而近现代，无穷级数的收敛性是分析学的基本问 题，无穷的分类则丰富了拓朴学，许多由无穷产生的悖论一直是恼人而重要的数学问题， 直到两千多年後，本世纪六〇年代的非标准分析学才真正驯服无穷。 我的数学思想史 　　犹记得那天早晨天气晴朗，在新数101教室，林绍雄老师证明高等微积分的Heine- Borel定理。当证明写完後，我感动到不可自禁地惊呼：「人类怎麽想得出来！」而且， 老师说数学界花了三十年才发现并证明这个定理。那时，我告诉自己，一定要发掘这三 十年来数学家们探索的过程，因为人类挑战了看似不可能的事物。 为此，我开始研读数学史，先反思微积分学的发展，发现教科书的内容次序：「极 限→连续→微分→积分」，竟然与数学史「积分→微分→连续→极限」的发展背道而行 ！我意识到原来文章书籍的「逻辑理路」（the way of logic）与数学思考的「探索理 路」（the way of discovery）可以如此不同。当然，逻辑理路直接明快，像食谱一样 ，学习者一步步照做即可，但缺点是常常觉得「天外飞来一笔」。至於探索理路，葛兆 光先生的《中国思想史》给我不少指引，他认为在思想史研究中，展现知识积累与发展 的「加法」固然重要，然而，找回思想被删减隐没的「减法」更有启发。阿贝尔（ Niels Henrik Abel）曾形容高斯（Carl Friedrich Gauss）像一只狡猾的狐狸，在沙 漠上一面行走，一面用尾巴抹掉足迹，探索理路就是「重现」被抹去的足迹，这就是我 的数学梦，我的「数学思想史」！ 　　於是，我决定报考数学研究所，不少人关心我，提醒法律系出路较为宽广。不过，或 许受到影片《练习曲》中那句话的鼓舞：「有些事现在不做，以後也不会做了！」我相信 ，走上数学之路的决断，我不会後悔。 　　就读数学研究所那两年，我不再拥有法律与数学的「双重身份」，我必须完全献身在 「典范」中。我的硕士论文以生态学上的反应扩散方程为主题，她是一份不错的文献回顾 ，因为我尽可能以探索理路的方式呈现，虽然我曾努力，想要发现属於自己的命题与证明 。在硕士阶段，我深刻体会到「研读数学」跟「研究数学」是两回事，以及研究数学思想 史之前，必须先精通数学。 　　梦想之路上有时花朵缤纷，有时荆棘坎坷，但我的神，我的数学梦引领我，即使迷雾 重重，我仍能大步前行。如今我在服兵役，退伍後即将去柏林自由大学参加数学博士班面 试。未来充满可能性，而我还年轻！ 作者简介 「去年新训，常常得在嘉义的美丽夕照下，全副武装持枪肃站重覆背颂国军准则，而那 时，我的心中是满满地渴望留学德国、铁马环球与当好爸爸。」 本文为CASE专题「我的数学梦」连载第三篇 → 看更多：http://tinyurl.com/3rwfy2a 部分数学符号无法正确显示於BBS，请点入网址观看。 -- 台大科学教育发展中心 http://www.facebook.com/NTUCASE http://case.ntu.edu.tw/blog/ --

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